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[2003年]设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件:f/(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2x. 求F(x)所满足的一阶微分方程;
[2003年]设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件:f/(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2x. 求F(x)所满足的一阶微分方程;
admin
2019-03-30
42
问题
[2003年]设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件:f/(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2
x
.
求F(x)所满足的一阶微分方程;
选项
答案
解一 F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g
2
(x)+f
2
(x) =[f(x)+g(x)]
2
-2f(x)g(x)=(2e
x
)
2
-2F(x). 可见,F(x)所满足的一阶微分方程为F’(x)+2F(x)=4e
2x
. 解二 由给定条件分别求出f(x)与g(x)的表示式,然后求出F(x)=f(x)g(x)的表示式,进一步再求出F’(x)的表示式,最后找出F(x)与F’(x)的表示式的关系. 由f’(x)=g(x),f(x)+g(x)=2e
x
,得到f(x)+f’(x)=2
2x
,解之得 [*] 由f(0)=0得到c=-1.因此f(x)=e
-x
(e
2x
+C)=e
x
-e
-x
,于是g(x)=f’(x) e
x
+e
-x
,则 F(x)=f(x)g(x)=(e
x
-e
-x
)(e
x
+e
-x
)=e
2x
-e
-2x
, F’(x)=2e
2x
+2e
-2x
. 由观察可看出F’(x)+2F(x)=2e
2x
+2e
-2x
+2e
2x
-2e
-2x
=4e
2x
.此即所求的F(x)所满足的一阶微分方程.
解析
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考研数学三
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