[2003年]设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件:f/(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2x. 求F(x)所满足的一阶微分方程;

admin2019-03-30  46

问题 [2003年]设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件:f/(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2x
求F(x)所满足的一阶微分方程;

选项

答案解一 F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g2(x)+f2(x) =[f(x)+g(x)]2-2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x). 可见,F(x)所满足的一阶微分方程为F’(x)+2F(x)=4e2x. 解二 由给定条件分别求出f(x)与g(x)的表示式,然后求出F(x)=f(x)g(x)的表示式,进一步再求出F’(x)的表示式,最后找出F(x)与F’(x)的表示式的关系. 由f’(x)=g(x),f(x)+g(x)=2ex,得到f(x)+f’(x)=22x,解之得 [*] 由f(0)=0得到c=-1.因此f(x)=e-x(e2x+C)=ex-e-x,于是g(x)=f’(x) ex+e-x,则 F(x)=f(x)g(x)=(ex-e-x)(ex+e-x)=e2x-e-2x, F’(x)=2e2x+2e-2x. 由观察可看出F’(x)+2F(x)=2e2x+2e-2x+2e2x-2e-2x=4e2x.此即所求的F(x)所满足的一阶微分方程.

解析
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