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[2013年] 设A=.B=,当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC—CA=B,并求所有矩阵C.
[2013年] 设A=.B=,当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC—CA=B,并求所有矩阵C.
admin
2019-06-09
43
问题
[2013年] 设A=
.B=
,当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC—CA=B,并求所有矩阵C.
选项
答案
因所给矩阵方程不易化为式(2.2.4.1)中三种类型的矩阵方程,下用待定元素法求之.为此设出矩阵C中的元素,将方程AC—CA=B;化为一非齐次线性方程解之. 设C=[*],则AC=[*] [*] 由AC—CA=B得到四元非齐次线性方程组: [*] ① 存在矩阵C使AC—CA=B成立,上述方程组必有解.为此将上述方程组的增广矩阵[*]用初等行变换化为阶梯形矩阵: [*] 当a≠一1或b≠0时,因秩([*])≠秩(A),方程组无解. 当a=一l且b=0时,秩([*])=秩(A)=2<n=4,方程组有解,且有无穷多解.由基础解系和特解的简便求法得到,其基础解系为 α
1
=[1,a,1,0]
T
=[1,一1,l,0]
T
,α
2
=[1,0,0,1]
T
, 则对应齐次线性方程组的通解为c
1
α
1
+c
2
α
2
. 而方程组①的特解为[1,0,0,0]
T
,故方程组①的通解为 X=c
1
[1,一1,1,0]
T
+c
2
[1,0,0,1]
T
+[1,0,0,0]
T
, 即X=[x
1
,x
2
,x
3
,x
4
]
T
=[c
1
+c
2
+l,-c
1
,c
1
,c
2
]
T
,亦即x
1
=c
1
+c
2
+1,x
2
=一c
1
,x
3
=c
1
,x
4
=c
2
(c
1
,c
2
为任意常数),故所求的所有矩阵为 C=[*](c
1
,c
2
为任意常数).
解析
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0
考研数学二
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