设a与b都是常数且b>a>0. (1)试写出yOz平面上的圆(y-b)2+z2=a2绕Oz轴一圈生成的环面S的方程; (2)S所围成的实心环的空间区域为Ω,计算三重积分(x+y)2dv.

admin2018-09-25  26

问题 设a与b都是常数且b>a>0.
(1)试写出yOz平面上的圆(y-b)2+z2=a2绕Oz轴一圈生成的环面S的方程;
(2)S所围成的实心环的空间区域为Ω,计算三重积分(x+y)2dv.

选项

答案(1)用[*]替代(y-b)2+z2=a2中的y,便得S的直角坐标方程 [*] (2)用柱面坐标,按先z再r后θ的次序, [*]=∫0dθ∫b-ab+adr∫z1z2r3(cosθ+sinθ)2dz, 其中 [*] ∫0(cosθ+sinθ)2dθ=∫0(1+2cosθsinθ)dθ=2π, [*] 作积分变量替换t=r-b,得 [*] 再令t=asinu,从而 [*]

解析
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