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  3. 证明A～B，其中 并求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

证明A～B，其中 并求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

admin2019-03-12  50
问题 证明A～B，其中

并求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
选项
答案由A知，A的全部特征值是1，2，…，n，互不相同，故A相似于由其特征值组成的对角矩阵B． 由于λ1=1时，(λ1E-A)X=0，有特征向量ξ1=[1，0，…，0]T； λ2=2时，(λ2E-A)X=0，有特征向量ξ2=[0，1，…，0]T； ……… λn=n时，(λnE-A)X=0，有特征向量ξn=[0，0，…，1]T． 故有 Aξn=nξn，Aξn-1=(n一1)ξn-1…，Aξ1=ξ1，即 A[ξn，ξn-1，…,ξ1]=[nξn(n一1)ξn-1，…,ξ1]=[ξn，ξn-1，…,ξ1][*] 故得可逆矩阵 P=[ξn，ξn-1,…，ξ1]=[*] 有 P-1AP=B．
解析
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考研数学三

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