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设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴所围成.计算二重积分(x+2y)dxdy.
设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴所围成.计算二重积分(x+2y)dxdy.
admin
2022-09-22
34
问题
设平面区域D由曲线
(0≤t≤2π)与x轴所围成.计算二重积分
(x+2y)dxdy.
选项
答案
题中所给曲线是一条拱线,平面区域D可表示为 D={(x,y)|0≤x≤2π,0≤y≤y(x)}. 因此 [*](x+2y)dxdy=∫
0
2π
dx∫
0
y(x)
(x+2y)dy=∫
0
2π
(xy+y
2
)|
0
y(x)
dx =∫
0
2π
[xy(x)+y
2
(x)]dx. 下面利用换元法求解.令x=t-sin t,y(x)=1-cos t,则 [*](x+2y)dxdy=∫
0
2π
[(t-sin t)(1-cos t)+(1-cos t)
2
]d(t-sin t) =∫
0
2π
[(t- sin t)(1-cos t)
2
+(1-cos t)
3
]dt =∫
0
2π
[t(1-cos t)
2
-sin t(1-cost)
2
+(1-cos t)
3
]dt. 而∫
0
2π
t(1-cos t)
2
dt=∫
0
2π
(t-2t cos t+t cos
2
t)dt =[*]|
0
2π
=3π
2
, ∫
0
2π
sin t(1-cos t)
2
dt=∫
0
2π
(1-cos t)
2
d(1-cos t)=[*](1-cos t)
3
|
0
2π
=0, ∫
0
2π
(1-cos t)
3
dt=∫
0
2π
(1-3cos t+3 cos
2
t-cos
3
t)dt =[*]|
0
2π
=5π 因此 [*](x+2y)dxdy=3π
2
+5π
解析
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