设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴所围成.计算二重积分(x+2y)dxdy.

admin2022-09-22  34

问题 设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴所围成.计算二重积分(x+2y)dxdy.

选项

答案题中所给曲线是一条拱线,平面区域D可表示为 D={(x,y)|0≤x≤2π,0≤y≤y(x)}. 因此 [*](x+2y)dxdy=∫0dx∫0y(x)(x+2y)dy=∫0(xy+y2)|0y(x)dx =∫0[xy(x)+y2(x)]dx. 下面利用换元法求解.令x=t-sin t,y(x)=1-cos t,则 [*](x+2y)dxdy=∫0[(t-sin t)(1-cos t)+(1-cos t)2]d(t-sin t) =∫0[(t- sin t)(1-cos t)2+(1-cos t)3]dt =∫0[t(1-cos t)2-sin t(1-cost)2+(1-cos t)3]dt. 而∫0t(1-cos t)2dt=∫0(t-2t cos t+t cos2t)dt =[*]|0=3π2, ∫0sin t(1-cos t)2dt=∫0(1-cos t)2d(1-cos t)=[*](1-cos t)30=0, ∫0(1-cos t)3dt=∫0(1-3cos t+3 cos2t-cos3t)dt =[*]|0=5π 因此 [*](x+2y)dxdy=3π2+5π

解析
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