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  3. 设函数S(x)=∫0x|cost|dt 当n为正整数时，且nπ≤x＜(n+1)π时，证明：2n≤S(x)＜2(n+1).

设函数S(x)=∫0x|cost|dt 当n为正整数时，且nπ≤x＜(n+1)π时，证明：2n≤S(x)＜2(n+1).

admin2022-10-08  44
问题 设函数S(x)=∫0x|cost|dt
当n为正整数时，且nπ≤x＜(n+1)π时，证明：2n≤S(x)＜2(n+1).
选项
答案因为|cosx|≥0,且nπ≤x＜(n+1)π,所以 ∫0nπ|cosx|dx≤S(x)＜∫0(n+1)π|cosx|dx 又因为|cosx|是以π为周期的函数，在每个周期上积分值相等，所以 ∫0nπ|cosx|dx=n∫0π|cosx|dx=2n,∫0(n+1)π|cosx|dx=2(n+1) 因此当nπ≤x＜(n+1)π时，有2n≤S(x)＜2(n+1).
解析
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考研数学三

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