设α1,α2,…,αt为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

admin2018-05-21  35

问题 设α1,α2,…,αt为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

选项

答案方法一由α1,α2,…,αt线性无关[*]β,α1,α2,…,αt线性无关, 令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0, 即(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0, ∵β,α1,α2,…,αt线性无关 [*] k=k1=…=kt=0, ∴β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关 方法二令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0[*](k+k1+…+kt)β =-k1α1-…-ktαt[*](k+k1+…+kt)Aβ=-k11-…-ktt=0, ∵Aβ≠0,∴k+k1+…+kt=0,∴k1α1+…+ktαt0[*]k=k1=…=kt=0[*]β,β+α1,…,β+αt线性无关.

解析
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