设Γ:x=x(t),y=y(t)(a<t<β)是区域D内的光滑曲线,即x(t),y(t),(a,β)有连续的导数且x2(t)+y2(t)≠0,f(x,y)在D内有连续的偏导数,若P0∈Γ是f(x,y)在Γ上的极值点,求证:f(x,y)在点P0沿Γ的切线方向

admin2013-09-03  43

问题 设Γ:x=x(t),y=y(t)(a<t<β)是区域D内的光滑曲线,即x(t),y(t),(a,β)有连续的导数且x2(t)+y2(t)≠0,f(x,y)在D内有连续的偏导数,若P0∈Γ是f(x,y)在Γ上的极值点,求证:f(x,y)在点P0沿Γ的切线方向的方向导数为零.

选项

答案主要基于[*]的方向导数计算公式.其 中α,β为切向量的方向角. 当(x,y)∈Γ时,f(x,y)变成t的一元函数f(z(t)),y(t)), 记P0对应的参数为%,即P0为(x(t0),),y(t0):(x0,y0). P0是(x,y)在Γ的极值点,即t0是f(x(t),y(t))的极值点, 于是,由一元函数极值点的必要条件得d/dt f(x)t),y(t))|t=t0=0 ① f(x(t),y(t))是二元函数f(x,y)与一元函数x=x(t),y=y(t)的复合,由复合函数 求导法得[*] 其中x=x(t),y=y(t),注意曲线Γ在P0点处的切向量是(x(t0),y(t0)),单位切向量 [*],因此,t=t0时由①,②式得 [*] 由于[*] [*]及方向导数的计算公式得

解析
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