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  3. 设Γ：x=x(t)，y=y(t)(a＜t＜β)是区域D内的光滑曲线，即x(t)，y(t)，(a，β)有连续的导数且x2(t)+y2(t)≠0，f(x，y)在D内有连续的偏导数，若P0∈Γ是f(x，y)在Γ上的极值点，求证：f(x，y)在点P0沿Γ的切线方向

设Γ：x=x(t)，y=y(t)(a＜t＜β)是区域D内的光滑曲线，即x(t)，y(t)，(a，β)有连续的导数且x2(t)+y2(t)≠0，f(x，y)在D内有连续的偏导数，若P0∈Γ是f(x，y)在Γ上的极值点，求证：f(x，y)在点P0沿Γ的切线方向

admin2013-09-03  25
问题 设Γ：x=x(t)，y=y(t)(a＜t＜β)是区域D内的光滑曲线，即x(t)，y(t)，(a，β)有连续的导数且x2(t)+y2(t)≠0，f(x，y)在D内有连续的偏导数，若P0∈Γ是f(x，y)在Γ上的极值点，求证：f(x，y)在点P0沿Γ的切线方向的方向导数为零．
选项
答案主要基于[*]的方向导数计算公式．其 中α，β为切向量的方向角． 当(x，y)∈Γ时，f(x，y)变成t的一元函数f(z(t))，y(t))， 记P0对应的参数为％，即P0为(x(t0)，)，y(t0)：(x0，y0)． P0是(x，y)在Γ的极值点，即t0是f(x(t)，y(t))的极值点， 于是，由一元函数极值点的必要条件得d/dt f(x)t)，y(t))｜t=t0=0 ① f(x(t)，y(t))是二元函数f(x，y)与一元函数x=x(t)，y=y(t)的复合，由复合函数 求导法得[*] 其中x=x(t)，y=y(t)，注意曲线Γ在P0点处的切向量是(x’(t0)，y’(t0))，单位切向量 [*]，因此，t=t0时由①，②式得 [*] 由于[*] [*]及方向导数的计算公式得
解析
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考研数学一

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