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求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面,使该切平面与抛物面及圆柱面(x-1)2+y2=1围成的立体的体积最小,并求出最小体积.
求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面,使该切平面与抛物面及圆柱面(x-1)2+y2=1围成的立体的体积最小,并求出最小体积.
admin
2021-02-25
44
问题
求抛物面z=1+x
2
+y
2
的一个切平面,使该切平面与抛物面及圆柱面(x-1)
2
+y
2
=1围成的立体的体积最小,并求出最小体积.
选项
答案
设切点为M
0
(x
0
,y
0
,1+x
2
0
+y
2
0
).则抛物面在点M
0
处的切平面方程为 2x
0
(x-x
0
)+2y
0
(y-y
0
)-[z-(1+x
2
0
+y
2
0
)]=0, 即z=2x
0
x+2y
0
y+(1-x
2
0
-y
2
0
). 所求体积的立体是以此切平面为底,抛物面z=1+x
2
+y
2
为顶,(x-1)
2
+y
2
=1为侧面的柱体,所以由二重积分的几何意义知 [*] 解方程组[*]解得x
0
=1,y
0
=0 又[*],即AC-B
2
>0,A>0,故V
min
=V(1,0)=π/2 此时切平面方程为z=2x
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/na84777K
0
考研数学二
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[*]
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