求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面,使该切平面与抛物面及圆柱面(x-1)2+y2=1围成的立体的体积最小,并求出最小体积.

admin2021-02-25  44

问题 求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面,使该切平面与抛物面及圆柱面(x-1)2+y2=1围成的立体的体积最小,并求出最小体积.

选项

答案设切点为M0(x0,y0,1+x20+y20).则抛物面在点M0处的切平面方程为 2x0(x-x0)+2y0(y-y0)-[z-(1+x20+y20)]=0, 即z=2x0x+2y0y+(1-x20-y20). 所求体积的立体是以此切平面为底,抛物面z=1+x2+y2为顶,(x-1)2+y2=1为侧面的柱体,所以由二重积分的几何意义知 [*] 解方程组[*]解得x0=1,y0=0 又[*],即AC-B2>0,A>0,故Vmin=V(1,0)=π/2 此时切平面方程为z=2x

解析
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