设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明：（Ⅰ）若|A|=0，则|A|=0；（Ⅱ）|A*|=|A|n—1。

admin2017-12-29 26

问题设n阶矩阵A的伴随矩阵为A^*，证明：
（Ⅰ）若|A|=0，则|A^*|=0；
（Ⅱ）|A^*|=|A|^n—1。

选项

答案（Ⅰ）（反证法）假设|A^*|≠0，则有A^*（A^*）^—1=E。又因为AA^*=|A|E，且|A|=0，故 A=AE=AA^*（A^*）^—1=|A|E（A^*）^—1=0，所以A^*=O。这与|A^*|≠0矛盾，故当|A|=0时，有|A^*|=0。（Ⅱ）由于AA^*=|A|E，两端同时取行列式得 |A||A^*|=|A|ⁿ。当|A|≠0时，|A^*|=|A|^n—1；当|A|=0时，|A^*|=0。综上，有|A^*|=|A|^n—1成立。

解析

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