2. 考研
  3. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： （Ⅰ）若|A|=0，则|A*|=0； （Ⅱ）|A*|=|A|n—1。

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： （Ⅰ）若|A|=0，则|A*|=0； （Ⅱ）|A*|=|A|n—1。

admin2017-12-29  25
问题 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：
（Ⅰ）若|A|=0，则|A*|=0；
（Ⅱ）|A*|=|A|n—1。
选项
答案（Ⅰ）（反证法）假设|A*|≠0，则有A*（A*）—1=E。又因为AA*=|A|E，且|A|=0，故 A=AE=AA*（A*）—1=|A|E（A*）—1=0， 所以A*=O。这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时，有|A*|=0。 （Ⅱ）由于AA*=|A|E，两端同时取行列式得 |A||A*|=|A|n。 当|A|≠0时，|A*|=|A|n—1；当|A|=0时，|A*|=0。 综上，有|A*|=|A|n—1成立。
解析
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考研数学三

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