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设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)≤0,证明函数 在(a,b)内也有F’(x)≤0。
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)≤0,证明函数 在(a,b)内也有F’(x)≤0。
admin
2015-11-16
44
问题
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)≤0,证明函数
在(a,b)内也有F’(x)≤0。
选项
答案
证 由f(t)在[a,b]上连续,故∫
a
x
f(t)dt在区间[a,b]内可导,于是 [*] 由定积分中值定理得 ∫
a
x
f(t)dt=f(ξ)(x-a), 其中ξ在[a,x]上,于是 [*] 由于f’(x)≤0,故f(x)单调下降,所以f(x)≤f(ξ),又a<x,故F’(x)≤0。
解析
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考研数学一
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