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  3. 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f’(x)≤0，证明函数 在(a，b)内也有F’(x)≤0。

设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f’(x)≤0，证明函数 在(a，b)内也有F’(x)≤0。

admin2015-11-16  39
问题 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f’(x)≤0，证明函数

在(a，b)内也有F’(x)≤0。
选项
答案证 由f(t)在[a，b]上连续，故∫axf(t)dt在区间[a，b]内可导，于是 [*] 由定积分中值定理得 ∫axf(t)dt＝f(ξ)(x－a)， 其中ξ在[a，x]上，于是 [*] 由于f’(x)≤0，故f(x)单调下降，所以f(x)≤f(ξ)，又a＜x，故F’(x)≤0。
解析
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考研数学一

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