设f(x)为连续函数，证明： ∫0πxf(sinx)dx=π/2∫0πf(sinx)dx=π∫0π/2f(sinx)dx；

admin2021-11-09 42

问题设f(x)为连续函数，证明：
∫₀^πxf(sinx)dx=π/2∫₀^πf(sinx)dx=π∫₀^π/2f(sinx)dx；

选项

答案令I=∫₀^πxf(sinx)dx，则I=∫₀^πxf(sinx)dx→∫_π⁰(π-t)f(sint)(-dt)=∫₀^π(π-t)f(sint)dt=∫₀^π(π-x)f(sinx)dx=π∫₀^πf(sinx)dx-∫₀^πxf(sinx)dx=π∫₀^πf(sinx)dx-I，则I=∫₀^πxf(sinx)dx=π/2 ∫₀^πf(sinx)dx=π∫₀^πf(sinx)dx．

解析

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