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  3. 设f(x)为连续函数，证明： ∫0πxf(sinx)dx=π/2∫0πf(sinx)dx=π∫0π/2f(sinx)dx；

设f(x)为连续函数，证明： ∫0πxf(sinx)dx=π/2∫0πf(sinx)dx=π∫0π/2f(sinx)dx；

admin2021-11-09  35
问题 设f(x)为连续函数，证明：
∫0πxf(sinx)dx=π/2∫0πf(sinx)dx=π∫0π/2f(sinx)dx；
选项
答案令I=∫0πxf(sinx)dx，则I=∫0πxf(sinx)dx→∫π0(π-t)f(sint)(-dt)=∫0π(π-t)f(sint)dt=∫0π(π-x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-∫0πxf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-I，则I=∫0πxf(sinx)dx=π/2 ∫0πf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx．
解析
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考研数学二

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