将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间： (Ⅰ)ln(1+x+x2)； (Ⅱ)arctan

admin2019-02-26 52

问题将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间：
(Ⅰ)ln(1+x+x²)；
(Ⅱ)arctan

选项

答案(Ⅰ)由于ln(1+x+x²)=ln[*]=ln(1－x³)－ln(1－x)，利用公式(11．14)，并分别以(－x³)与(－x)代替其中的x，就有 ln(1－x³)=[*]，(－1＜－x³≤1即－1≤x＜1)； ln(1－x)=[*]，(－1＜－x≤1即－1≤x＜1)，于是 [*] (Ⅱ)由于[*]，利用公式(11．16)，并以x²代替其中的x，就有 [*](－1)ⁿx²ⁿ，－1＜x²＜1即－1＜x＜1．上式两端再进行积分，注意到arctan[*]f′(t)dt即得 [*] 注意函数arctan[*]在点x=－1处也收敛，从而上式在端点x=－1处也成立．即 [*]

解析

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考研数学一

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