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  3. 将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间： (Ⅰ)ln(1+x+x2)； (Ⅱ)arctan

将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间： (Ⅰ)ln(1+x+x2)； (Ⅱ)arctan

admin2019-02-26  99
问题 将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间：
(Ⅰ)ln(1+x+x2)；
(Ⅱ)arctan
选项
答案(Ⅰ)由于ln(1+x+x2)=ln[*]=ln(1－x3)－ln(1－x)，利用公式(11．14)，并分别以(－x3)与(－x)代替其中的x，就有 ln(1－x3)=[*]，(－1＜－x3≤1即－1≤x＜1)； ln(1－x)=[*]，(－1＜－x≤1即－1≤x＜1)， 于是 [*] (Ⅱ)由于[*]，利用公式(11．16)，并以x2代替其中的x，就有 [*](－1)nx2n，－1＜x2＜1即－1＜x＜1． 上式两端再进行积分，注意到arctan[*]f′(t)dt即得 [*] 注意函数arctan[*]在点x=－1处也收敛， 从而上式在端点x=－1处也成立．即 [*]
解析
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考研数学一

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