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将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间: (Ⅰ)ln(1+x+x2); (Ⅱ)arctan
将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间: (Ⅰ)ln(1+x+x2); (Ⅱ)arctan
admin
2019-02-26
98
问题
将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间:
(Ⅰ)ln(1+x+x
2
);
(Ⅱ)arctan
选项
答案
(Ⅰ)由于ln(1+x+x
2
)=ln[*]=ln(1-x
3
)-ln(1-x),利用公式(11.14),并分别以(-x
3
)与(-x)代替其中的x,就有 ln(1-x
3
)=[*],(-1<-x
3
≤1即-1≤x<1); ln(1-x)=[*],(-1<-x≤1即-1≤x<1), 于是 [*] (Ⅱ)由于[*],利用公式(11.16),并以x
2
代替其中的x,就有 [*](-1)
n
x
2n
,-1<x
2
<1即-1<x<1. 上式两端再进行积分,注意到arctan[*]f′(t)dt即得 [*] 注意函数arctan[*]在点x=-1处也收敛, 从而上式在端点x=-1处也成立.即 [*]
解析
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考研数学一
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