设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量. (1)证明α,Aα线性无关; (2)若A2α+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化;

admin2018-05-22  38

问题 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量.
(1)证明α,Aα线性无关;
(2)若A2α+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化;

选项

答案(1)若α,Aα线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,使得k1α+k2Aα=0,可设k2≠0,所以Aα=[*],矛盾,所以α,Aα线性无关. (2)由A2α+Aα-6α=0,得(A2+A-6E)α=0, 因为α≠0,所以r(A2+A-6E)<2,从而|A2+A-6E|=0,即 |3E+A|.|2E-A|=0,则|3E+A|=0或|2E-A|=0. 若|3E+A|≠0,则3E+A可逆,由(3E+A)(2E-A)α=0,得 (2E-A)α=0,即Aα=2α,矛盾; 若|2E-A|≠0,则2E-A可逆,由(2E-A)(3E+A)α=0,得(3E+A)α=0,即Aα=-3α,矛盾,所以有|3E+A|=0且|2E-A|=0,于是二阶矩阵A有两个特征值-3,2,故A可对角化.

解析
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