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设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B
admin
2014-01-26
87
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2,α
1
=(1,-1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量,记B=A
5
-4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵.
(1)验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.
(2)求矩阵B.
选项
答案
(1)由Aα
1
=α
1
得 A
2
α
1
=Aα
1
=α
1
, 进一步 A
3
α
1
=α
1
,A
5
α
1
=α
1
, 故 Bα
1
=(A
5
-4A
3
+E)α
1
=A
5
α
1
-4A
3
α
1
+α
1
=α
1
—4α
1
+α
1
=-2α
1
, 从而α
1
是矩阵B的属于特征值-2的特征向量. 由B=A-4A+E及A的3个特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2,得B的3个特征值为 μ
1
=-2,μ
2
—1,μ
3
=1. 设α
2
,α
3
为B的属于μ
2
=μ
3
=1的两个线性无关的特征向量,又因为A是对称矩阵,得B也是对称矩阵,因此α
1
与α
2
,α
3
正交,即 α
1
T
α
2
=0, α
1
T
α
3
=0, 所以α
2
,α
3
可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解: [*] 其基础解系为[*],故可取[*]。 故B的全部特征值的特征向量为:[*],其中k
1
是不为零的任意常数,k
2
,k
3
是不同时为零的任意常数. (2)方法一 令P=(α
1
,α
2
,α
3
)=[*], 得[*] 方法二 将α
2
,α
3
正交化得β
2
=α
2
=[*] [*] 将α
1
,β
2
,β
3
单位化得[*] 令[*] 则 P
-1
BP=P
T
BP=[*] 故[*]
解析
[分析]根据特征值的性质可立即得B的特征值,然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cm34777K
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考研数学二
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