2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵． (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量． (2)求矩阵B

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵． (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量． (2)求矩阵B

admin2014-01-26  50
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．
    (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．
    (2)求矩阵B．
选项
答案(1)由Aα1＝α1得 A2α1＝Aα1＝α1， 进一步 A3α1＝α1，A5α1＝α1， 故 Bα1＝(A5－4A3＋E)α1 ＝A5α1－4A3α1＋α1 ＝α1—4α1＋α1 ＝－2α1， 从而α1是矩阵B的属于特征值－2的特征向量． 由B＝A－4A＋E及A的3个特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，得B的3个特征值为 μ1＝－2，μ2—1，μ3＝1． 设α2，α3为B的属于μ2＝μ3＝1的两个线性无关的特征向量，又因为A是对称矩阵，得B也是对称矩阵，因此α1与α2，α3正交，即 α1Tα2＝0， α1Tα3＝0， 所以α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： [*] 其基础解系为[*]，故可取[*]。 故B的全部特征值的特征向量为：[*]，其中k1是不为零的任意常数，k2，k3是不同时为零的任意常数． (2)方法一 令P＝(α1，α2，α3)＝[*]， 得[*] 方法二 将α2，α3正交化得β2＝α2＝[*] [*] 将α1，β2，β3单位化得[*] 令[*] 则 P－1BP＝PTBP＝[*] 故[*]
解析 [分析]根据特征值的性质可立即得B的特征值，然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量．
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考研数学二

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