设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B

admin2014-01-26  37

问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.
    (1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.
    (2)求矩阵B.

选项

答案(1)由Aα1=α1得 A2α1=Aα1=α1, 进一步 A3α1=α1,A5α1=α1, 故 Bα1=(A5-4A3+E)α1 =A5α1-4A3α1+α1 =α1—4α1+α1 =-2α1, 从而α1是矩阵B的属于特征值-2的特征向量. 由B=A-4A+E及A的3个特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,得B的3个特征值为 μ1=-2,μ2—1,μ3=1. 设α2,α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量,又因为A是对称矩阵,得B也是对称矩阵,因此α1与α2,α3正交,即 α1Tα2=0, α1Tα3=0, 所以α2,α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解: [*] 其基础解系为[*],故可取[*]。 故B的全部特征值的特征向量为:[*],其中k1是不为零的任意常数,k2,k3是不同时为零的任意常数. (2)方法一 令P=(α1,α2,α3)=[*], 得[*] 方法二 将α2,α3正交化得β2=α2=[*] [*] 将α1,β2,β3单位化得[*] 令[*] 则 P-1BP=PTBP=[*] 故[*]

解析 [分析]根据特征值的性质可立即得B的特征值,然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.
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