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设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所同成.过z轴上点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径的圆面.若以每秒vn体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的. 写出注水过程中t时刻
设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所同成.过z轴上点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径的圆面.若以每秒vn体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的. 写出注水过程中t时刻
admin
2014-08-18
49
问题
设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所同成.过z轴上
点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径
的圆面.若以每秒vn体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的.
写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积=V(t)之间的关系式,并求出水面高度z与时间t的函数关系;
选项
答案
由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是[*]其中s(z)是水面D(z)的面积,即S(z)=π[z
2
+(1一z)
2
].现由[*]及z(0)=0,求z(t).将上式两边对t求导,由复合函数求导法得[*]这是可分离变量的一阶微分方程,分离变量得[*](*)两边积分并注意z(0)=0,得[*](**)
解析
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考研数学一
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