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设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx,其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB=O,其中 (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形,并求所做的正交变换; (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。
设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx,其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB=O,其中 (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形,并求所做的正交变换; (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。
admin
2019-01-25
49
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax,其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB=O,其中
(Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形,并求所做的正交变换;
(Ⅱ)求该二次型的具体表达式。
选项
答案
根据已知条件[*],因此矩阵B的3个列向量均为A的对应于特征值A=0的特征向量,其中 β
1
=(1,2,1)
T
,β
2
=(-2,1,0),2β-β=(4,3,2)
T
, 故λ=0至少为矩阵A的二重特征值。 根据A的主对角元素的和为3可得A还有一个特征值为3,因此属于矩阵A的特征值分别为0,0,3。矩阵A是一个实对称矩阵,因此属于特征值3的特征向量与属于特征值0的两个特征向量均正交,可得方程组[*]解得β
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
=(1,2,-5)
T
。 故存在正交变换x=Qy,其中 [*]
解析
本题考查化二次型为标准形。第一问通过矩阵方程及主对角线元素的和可得出矩阵A的特征值,利用属于不同特征值的特征向量正交的性质求出A的所有特征向量,从而得出正交矩阵。第二问利用第一问的逆向变化计算矩阵的乘积即可得出矩阵A的具体形式。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YhP4777K
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考研数学三
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