2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB＝O，其中 (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换； (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB＝O，其中 (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换； (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

admin2019-01-25  39
问题 设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB＝O，其中

(Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换；
(Ⅱ)求该二次型的具体表达式。
选项
答案根据已知条件[*]，因此矩阵B的3个列向量均为A的对应于特征值A＝0的特征向量，其中 β1＝(1，2，1)T，β2＝(－2，1，0)，2β－β＝(4，3，2)T， 故λ＝0至少为矩阵A的二重特征值。 根据A的主对角元素的和为3可得A还有一个特征值为3，因此属于矩阵A的特征值分别为0，0，3。矩阵A是一个实对称矩阵，因此属于特征值3的特征向量与属于特征值0的两个特征向量均正交，可得方程组[*]解得β3＝(x1，x2，x3)T＝(1，2，－5)T。 故存在正交变换x＝Qy，其中 [*]
解析 本题考查化二次型为标准形。第一问通过矩阵方程及主对角线元素的和可得出矩阵A的特征值，利用属于不同特征值的特征向量正交的性质求出A的所有特征向量，从而得出正交矩阵。第二问利用第一问的逆向变化计算矩阵的乘积即可得出矩阵A的具体形式。
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考研数学三

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