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  3. 设f(x)二阶可导，f"(x)＜0,f’(0)≤,f(0)=0,f(1)=,并设0＜x1＜1,且xn+1=f(xn),n=1,2,…. 证明xn存在

设f(x)二阶可导，f"(x)＜0,f’(0)≤,f(0)=0,f(1)=,并设0＜x1＜1,且xn+1=f(xn),n=1,2,…. 证明xn存在

admin2021-07-15  10
问题 设f(x)二阶可导，f"(x)＜0,f’(0)≤,f(0)=0,f(1)=,并设0＜x1＜1,且xn+1=f(xn),n=1,2,….
证明xn存在
选项
答案由上一问得知，当0＜x＜1时，[*] 于是xn+1=f(xn）＞[*]xn＞（[*])2xn-1＞…＞([*])nx1,故{xn}有下界。 又xn+1=f(xn)=f(xn)－f(0)=f’(ξn)·xn,其中0＜ξn＜xn,f’(ξn)＜f’(0)≤[*], 故xn+1≤[*]xn＜xn,得{xn}单调减少。 由单调有界准则，[*]xn存在。
解析
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考研数学二

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