2. 考研
  3. 设α1,α2,α3,α4都是n维向量．判断下列命题是否成立． ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1,α2,α3线性表示，则α1,α2,α3,α4线性无关． ②如果α1，α2线性无关，α3,α4都不能用α1,α2线性表示，则α1,α2,α3,α4线

设α1,α2,α3,α4都是n维向量．判断下列命题是否成立． ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1,α2,α3线性表示，则α1,α2,α3,α4线性无关． ②如果α1，α2线性无关，α3,α4都不能用α1,α2线性表示，则α1,α2,α3,α4线

admin2017-10-21  65
问题 设α1,α2,α3,α4都是n维向量．判断下列命题是否成立．
①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1,α2,α3线性表示，则α1,α2,α3,α4线性无关．
②如果α1，α2线性无关，α3,α4都不能用α1,α2线性表示，则α1,α2,α3,α4线性无关．
③如果存在n阶矩阵A，使得Aα1,Aα2,Aα3,Aα4线性无关，则α1,α2,α3,α4线性无关．
④如果α1=Aβ1，α2=Aβ2，α3=Aβ3，α4=Aβ4，其中A可逆，β1，β2，β3，β4线性无关，则α1,α2,α3,α4线性无关．
其中成立的为．
选项
答案①，③，④．
解析 ①直接从定理3．2得到．
②明显不对，例如α3不能用α1，α2线性表示，而α3=α4时，α3，α4都不能用α1，α2线性表示但是α1,α2,α3,α4线性相关．
③容易用秩说明：Aα1,Aα2,Aα3,Aα4的秩即矩阵(Aα1,Aα2,Aα3,Aα4)的秩，f而(Aα1,Aα2,Aα3,Aα4)=A(α1,α2,α3,α4)，由矩阵秩的性质④，r(Aα1,Aα2,Aα3,Aα4)≤r(α1,α2,α3,α4)．Aα1,Aα2,Aα3,Aα4无关，秩为4，于是α1,α2,α3,α4的秩也一定为4，线性无关．
④也可从秩看出：A可逆时，r(α1,α2,α3,α4)=r(Aα1,Aα2,Aα3,Aα4)=4．
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考研数学三

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