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  3. 函数f(x)=(x2－x－2)|x3－x|不可导点的个数是( )

函数f(x)=(x2－x－2)|x3－x|不可导点的个数是( )

admin2019-03-08  55
问题 函数f(x)=(x2－x－2)|x3－x|不可导点的个数是(    )
选项 A、3。
B、2。
C、1。
D、0。
答案B
解析 方法一：当函数中出现绝对值号时，就有可能出现不可导的“尖点”，因为这时的函数是分段函数。f(x)=(x2－x－2)|x||x2－1|，当x≠0，±1时f(x)可导，因而只需在x=0，±1处考察f(x)是否可导。在这些点分别考察其左、右导数。由

即f(x)在x=－1处可导。又

所以，f(x)在x=0处不可导。
类似，函数f(x)在x=1处亦不可导。因此f(x)只有两个不可导点，故应选B。
方法二：利用下列结论进行判断：
设函数f(x)=|x－a|φ(x)，其中φ(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是φ(a)=0。
先证明该结论：
由导数的定义可知：

可见，f’(a)存在的充要条件是φ(a)=－φ(a)，也即φ(a)=0。
再利用上述结论来判断本题中的函数有哪些不可导点：
首先，绝对值函数分段点只可能在使得绝对值为零的点，即f(x)=(x2－x－2)|x3－x|只有可能在使得|x3－x|=0的点处不可导，也即x=－1，x=0以及x=1。
接下来再依次对这三个点检验上述结论：
对x=－1，将f(x)写成f(x)=(x2－x－2)|x2－x||x+1|，由于(x2－x－2)|x2－x|在x=－1处为零，可知f(x)在x=－1处可导。
对x=0，将f(x)写成f(x)=(x2－x－2)|x2－1||x|，由于(x2－x－2)|x2－1|在x=0处不为零，可知f(x)在x=0处不可导。
对x=1，将f(x)写成f(x)=(x2－x－2)|x2+x||x－1|，由于(x2－x－2)|x2+x|在x=1处不为零，可知f(x)在x=1处不可导。
因此f(x)有两个不可导点，故应选B。
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考研数学二

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