设A是三阶实对称矩阵，特征值是1，0，－2，矩阵A的属于特征值1与－2的特征向量分别是(1，2，1)T与(1，－1，a)T，求Ax=0的通解．

admin2017-06-14 85

问题设A是三阶实对称矩阵，特征值是1，0，－2，矩阵A的属于特征值1与－2的特征向量分别是(1，2，1)^T与(1，－1，a)^T，求Ax=0的通解．

选项

答案因为A是实对称矩阵，必可相似对角化，有 [*] 知r(A)=2．对应实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 1+(－2)+a=0，得a=1，设λ=0的特征向量是(x₁，x₂，x₃)^T，由正交性，有 [*] 得α=(1，0，－1)^T是A属于λ=0的特征向量，亦即Ax=0的解．由于n－r(A)=3—2=1，可见α是Ax=0的基础解系，所以Ax=0的通解是k(1，0，－1)^T．

解析

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考研数学一

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已知3阶矩阵A的第一行是(a，6，c)，a，b，c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解．
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵B．
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