2. 考研
  3. [2010年] (I)比较∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt与∫01tn∣lnt∣dt(n=1，2，…)的大小，并说明理由；(Ⅱ)记un=∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限un.

[2010年] (I)比较∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt与∫01tn∣lnt∣dt(n=1，2，…)的大小，并说明理由；(Ⅱ)记un=∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限un.

admin2021-01-19  106
问题 [2010年]  (I)比较∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt与∫01tn∣lnt∣dt(n=1，2，…)的大小，并说明理由；(Ⅱ)记un=∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限un.
选项
答案 利用定积分性质即命题1．3．2．5解(I)． 下面只解(I)，(Ⅱ)．为此先证：当0≤x≤l时，ln(1+x)≤x． 令g(x)=ln(1+x)一x，则当0≤x≤1时，g′(x)=1／(1+x)一1≤0，所以g(x)≤g(0)=0，即ln(1+x)一x≤0，亦即ln(1+x)≤x． 先比较区间[0，1]上的被积函数．由0＜ln(1+t)＜t(0＜t＜1)得到 lnn(1+t)＜tn (0＜t＜1；n=1，2，3，…)， ln∣t∣lnn(1+t)＜tn∣lnt∣ (0＜t＜1)． 又 [*]∣lnt∣lnn(1+t)＜[*]lnt=[*]lnt=0， 令f(t)=∣lnt∣lnn(1+t)，h(t)=tn∣lnf∣，可补充定义f(0)=0，h(0)=0，则f(t)，h(t)在[0，1]上连续，且f(t)≤h(t)，但f(t)[*]h(t)．由命题1．3．2．5(3)知 ∫01f(t)dt＜∫01h(t)dt， 即∫01∣lnt∣lnn(1+t)dt＜∫01tn∣lnt∣dt．
解析
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考研数学二

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