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设函数F(x)在所讨论的区间上可导.下述命题正确的是 ( )
设函数F(x)在所讨论的区间上可导.下述命题正确的是 ( )
admin
2018-12-21
59
问题
设函数F(x)在所讨论的区间上可导.下述命题正确的是 ( )
选项
A、若f(x)在(a,b)内有界,则f
’
(x)在(a,b)内亦有界.
B、若f
’
(x)在(a,b)内有界,则f(x)在(a,b)内亦有界.
C、若f(x)在(a,﹢∞)内有界,则f
’
(x)在(a,﹢∞)内亦有界.
D、若f
’
(x)在(a,﹢∞)内有界,则f(x)在(a,﹢∞)内亦有界.
答案
B
解析
设f
’
(x)在(a,b)内的界为M,即|f
’
(x)|≤M,x∈(a,b),在(a,b)内任取一个闭区间[α,β], [α,β]
(a,b),因为f
’
(x)在(a,b)内存在,所以f(x)在(a,b)内连续,从而在[α,β]上连续,因此存在M
1
,当x∈[a,b]时|f(x)|≤M
1
.在[α,β]内取定x
0
,在(a,b)内任取x,在区间[x
0
,x]或[x,x
0
]上用拉格朗日中值公式,得f(x)=f(x
0
)﹢f
’
﹢f
’
(ξ)(x-x
0
),|f(x)|≤|f(x
0
)|﹢f
’
(ξ)||x-x
0
|≤M
1
﹢M(b-a),
其中ξ∈[x
0
,x]或[x,x
0
]),所以f(x)在(a,b)内有界.
以下分别举例说明(A),(C),(D)不正确.
(A)的反例.设f(x)=xsin
,x∈(0,1).f(x)在(0,1)内有界:|f(x)|<1,但f
’
(x)=
,当x∈(0,1),取
却是无界的.
(C)的反例.设f(x)=
sin x
3
,f(x)在区间(0,﹢∞)内有界
,而(D)的反例.设f(x)=x,f
’
(x)=1在(a,﹢∞)内有界,但f(x)=x在区间(a,﹢∞)内却无界.
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考研数学二
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