设函数F(x)在所讨论的区间上可导．下述命题正确的是 ( )

admin2018-12-21 55

问题设函数F(x)在所讨论的区间上可导．下述命题正确的是 ( )

选项 A、若f(x)在(a，b)内有界，则f^’(x)在(a，b)内亦有界．
B、若f^’(x)在(a，b)内有界，则f(x)在(a，b)内亦有界．
C、若f(x)在(a，﹢∞)内有界，则f^’(x)在(a，﹢∞)内亦有界．
D、若f^’(x)在(a，﹢∞)内有界，则f(x)在(a，﹢∞)内亦有界．

答案B

解析设f^’(x)在(a，b)内的界为M，即｜f^’(x)｜≤M，x∈(a，b)，在(a，b)内任取一个闭区间[α，β]， [α，β]

(a，b)，因为f^’(x)在(a，b)内存在，所以f(x)在(a，b)内连续，从而在[α，β]上连续，因此存在M₁，当x∈[a，b]时｜f(x)｜≤M₁．在[α，β]内取定x₀，在(a，b)内任取x，在区间[x₀，x]或[x，x₀]上用拉格朗日中值公式，得f(x)＝f(x₀)﹢f^’﹢f^’(ξ)(x－x₀)，｜f(x)｜≤｜f(x₀)｜﹢f^’(ξ)｜｜x－x₀｜≤M₁﹢M(b－a)，
其中ξ∈[x₀，x]或[x，x₀])，所以f(x)在(a，b)内有界．
以下分别举例说明(A)，(C)，(D)不正确．
(A)的反例．设f(x)＝xsin