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  3. 设函数F(x)在所讨论的区间上可导．下述命题正确的是 ( )

设函数F(x)在所讨论的区间上可导．下述命题正确的是 ( )

admin2018-12-21  43
问题 设函数F(x)在所讨论的区间上可导．下述命题正确的是    (    )
选项 A、若f(x)在(a，b)内有界，则f’(x)在(a，b)内亦有界．
B、若f’(x)在(a，b)内有界，则f(x)在(a，b)内亦有界．
C、若f(x)在(a，﹢∞)内有界，则f’(x)在(a，﹢∞)内亦有界．
D、若f’(x)在(a，﹢∞)内有界，则f(x)在(a，﹢∞)内亦有界．
答案B
解析 设f’(x)在(a，b)内的界为M，即｜f’(x)｜≤M，x∈(a，b)，在(a，b)内任取一个闭区间[α，β]， [α，β](a，b)，因为f’(x)在(a，b)内存在，所以f(x)在(a，b)内连续，从而在[α，β]上连续，因此存在M1，当x∈[a，b]时｜f(x)｜≤M1．在[α，β]内取定x0，在(a，b)内任取x，在区间[x0，x]或[x，x0]上用拉格朗日中值公式，得f(x)＝f(x0)﹢f’﹢f’(ξ)(x－x0)，｜f(x)｜≤｜f(x0)｜﹢f’(ξ)｜｜x－x0｜≤M1﹢M(b－a)，
其中ξ∈[x0，x]或[x，x0])，所以f(x)在(a，b)内有界．
以下分别举例说明(A)，(C)，(D)不正确．
(A)的反例．设f(x)＝xsin，x∈(0，1)．f(x)在(0，1)内有界：｜f(x)｜<1，但f’(x)＝，当x∈(0，1)，取却是无界的．
(C)的反例．设f(x)＝sin x3，f(x)在区间(0，﹢∞)内有界，而(D)的反例．设f(x)＝x，f’(x)＝1在(a，﹢∞)内有界，但f(x)＝x在区间(a，﹢∞)内却无界．
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考研数学二

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