2. 考研
  3. (2003年)设函数y＝y(χ)在(－∞，＋∞)内具有二阶导数，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(χ)的反函数． (1)试将χ＝χ(y)所满足的微分方程＝0变换为y＝y(χ)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0

(2003年)设函数y＝y(χ)在(－∞，＋∞)内具有二阶导数，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(χ)的反函数． (1)试将χ＝χ(y)所满足的微分方程＝0变换为y＝y(χ)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0

admin2016-05-30  44
问题 (2003年)设函数y＝y(χ)在(－∞，＋∞)内具有二阶导数，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(χ)的反函数．
    (1)试将χ＝χ(y)所满足的微分方程＝0变换为y＝y(χ)满足的微分方程；
    (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝的解．
选项
答案由反函数导数公式知 [*] 上式两端对y求导得 [*] 将[*]代入原方程得 y〞－y＝sinχ 该方程对应的齐次方程y〞－y＝0的通解为 y＝C1eχ＋C2e－χ。 设方程y〞－y＝sinχ的特解为[*]＝Acosχ＋Bsinχ，代入该方程得 A＝0，B＝－[*] 故[*] 从而y〞－y＝sinχ的通解为 y(χ)＝C1eχ＋C2e－χ－[*]sinχ 由y(0)＝0，y′(0)＝[*]得C1＝1，C2＝－1 故y(χ)＝eχ－e－χ－[*]sinχ
解析
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考研数学二

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