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(2003年)设函数y=y(χ)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y′≠0,χ=χ(y)是y=y(χ)的反函数. (1)试将χ=χ(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(χ)满足的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0
(2003年)设函数y=y(χ)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y′≠0,χ=χ(y)是y=y(χ)的反函数. (1)试将χ=χ(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(χ)满足的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0
admin
2016-05-30
63
问题
(2003年)设函数y=y(χ)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y′≠0,χ=χ(y)是y=y(χ)的反函数.
(1)试将χ=χ(y)所满足的微分方程
=0变换为y=y(χ)满足的微分方程;
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y′(0)=
的解.
选项
答案
由反函数导数公式知 [*] 上式两端对y求导得 [*] 将[*]代入原方程得 y〞-y=sinχ 该方程对应的齐次方程y〞-y=0的通解为 y=C
1
e
χ
+C
2
e
-χ
。 设方程y〞-y=sinχ的特解为[*]=Acosχ+Bsinχ,代入该方程得 A=0,B=-[*] 故[*] 从而y〞-y=sinχ的通解为 y(χ)=C
1
e
χ
+C
2
e
-χ
-[*]sinχ 由y(0)=0,y′(0)=[*]得C
1
=1,C
2
=-1 故y(χ)=e
χ
-e
-χ
-[*]sinχ
解析
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0
考研数学二
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