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已知线性方程组 的一个基础解系为:(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,n)T.试写出线性方程组的 通解,并说明理由.
已知线性方程组 的一个基础解系为:(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,n)T.试写出线性方程组的 通解,并说明理由.
admin
2017-08-28
51
问题
已知线性方程组
的一个基础解系为:(b
11
,b
12
,…,b
1,2n
)
T
,(b
21
,b
22
,…,b
2,2n
)
T
,…,(b
n1
,b
n2
,…,b
n,n
)
T
.试写出线性方程组的
通解,并说明理由.
选项
答案
记方程组(I)、(Ⅱ)的系数矩阵分别为A、B,则可以看出题给的(I)的基础解系中的n个向量就是B的n个行向量的转置向量.因此,由(I)的已知基础解系可知 AB
T
=0 转置即得 BA
T
=0 因此可知A
T
的n个列向量——即A的n个行向量的转置向量都是方程组(Ⅱ)的解向量. 由于B的秩为n(B的行向量组线性无关),故(Ⅱ)的解空间的维数为2n—r(B)=2n—n=n,所以(Ⅱ)的任何n个线性无关的解就是(Ⅱ)的一个基础解系.已知(I)的基础解系含n个向量,即2n—r(A)=n,故r(A)=n,于是可知A的n个行向量线性无关,从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系,因此(Ⅱ)的通解为 y=c
1
(a
11
,a
12
,…,a
1,2n
)
T
+c
2
(a
21
,a
22
,…,a
2,2n
)
T
+…+c
n
(a
n1
,a
n2
,…,a
n,2n
)
T
, 其中c
1
,c
2
,…,c
n
为任意常数.
解析
本题主要考查对矩阵的秩、齐次线性方程组的基础解系和通解等基本概念的理解及灵活应用.注意,(Ⅱ)是一个n×2n齐次线性方程组,所以它必然存在基础解系,找到了基础解系,也就有了通解.解答中引入系数矩阵的记号,不仅出于使得表述简单明了的目的,特别在讨论解的理论时必然要涉及到方程组的系数矩阵,因而必须引入它们.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Z9r4777K
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考研数学一
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