2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，λ，μ是实数，ξ是n维非零向量． 若A可逆，且有A3ξ=λξ，A5ξ=μξ，证明ξ是A的特征向量,并指出其对应的特征值．

设A是n阶矩阵，λ，μ是实数，ξ是n维非零向量． 若A可逆，且有A3ξ=λξ，A5ξ=μξ，证明ξ是A的特征向量,并指出其对应的特征值．

admin2014-04-23  44
问题 设A是n阶矩阵，λ，μ是实数，ξ是n维非零向量．
若A可逆，且有A3ξ=λξ，A5ξ=μξ，证明ξ是A的特征向量,并指出其对应的特征值．
选项
答案A3ξ=λξ，(*)A5ξ=λ2ξ．(**)(*) 式左乘A3，得 A6ξ=λA3ξ=λ2ξ；(**)式左乘A，得 A6ξ=μAξ． 故有 μAξ=λ2ξ，又因A可逆，故A5可逆，其对应的特征值μ≠0． 从而有[*] 得证ξ也是A的特征向量，且对应特征值为[*]
解析
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考研数学一

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