设A是n阶矩阵，λ，μ是实数，ξ是n维非零向量．若A可逆，且有A3ξ=λξ，A5ξ=μξ，证明ξ是A的特征向量,并指出其对应的特征值．

admin2014-04-23 46

问题设A是n阶矩阵，λ，μ是实数，ξ是n维非零向量．
若A可逆，且有A³ξ=λξ，A⁵ξ=μξ，证明ξ是A的特征向量,并指出其对应的特征值．

选项

答案A³ξ=λξ，(*)A⁵ξ=λ²ξ．(**)(*) 式左乘A³，得 A⁶ξ=λA³ξ=λ²ξ；(**)式左乘A，得 A⁶ξ=μAξ．故有 μAξ=λ²ξ，又因A可逆，故A⁵可逆，其对应的特征值μ≠0．从而有[*] 得证ξ也是A的特征向量，且对应特征值为[*]

解析

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