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设有n元实二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2, 其中ai(i=1,2,…,n)为实数。试问:当a1,a2,…,an满足条件时,二次型f(x1,x2,
设有n元实二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2, 其中ai(i=1,2,…,n)为实数。试问:当a1,a2,…,an满足条件时,二次型f(x1,x2,
admin
2021-01-25
85
问题
设有n元实二次型
f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n-1
+a
n-1
x
n
)
2
+(x
n
+a
n
x
1
)
2
,
其中a
i
(i=1,2,…,n)为实数。试问:当a
1
,a
2
,…,a
n
满足条件时,二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)为正定二次型。
选项
答案
方法一:用正定性的定义判别。 已知对任意的x
1
,x
2
,…,x
n
均有f(x
1
,x
2
,…,x
n
)≥0,其中等号成立当且仅当 [*] 方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 |B|=[*]=1+(—1)
n+1
a
1
a
2
…a
n
≠0, 即当a
1
,a
2
,…,a
n
≠(一1)
n
时,方程组(*)只有零解,此时f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=0。若对任意的非零向量x=(x
1
,x
2
,…,x
n
)≠0,(*)中总有一个方程不为零,则有 f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n-1
+a
n-1
x
n
)
2
+(x
n
+a
n
x
1
)
2
>0, 所以,根据正定二次型的定义,对任意的向量(x
1
,x
2
,…,x
n
),如果f(x
1
,x
2
,…,x
n
)≥0,则二次型正定。由以上证明题中f(x
1
,x
2
,…,x
n
)是正定二次型。 方法二:将二次型表示成矩阵形式,有 f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n-1
+a
n-1
x
n
)
2
+(x
n
+a
n
x
1
)
2
=(x
1
+x
1
x
2
,x
2
+a
2
x
3
,…,x
n-1
+a
n-1
x
n
,x
n
+a
n
x
1
)[*] [*] 则 f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=X
T
B
T
Bx=(Bx)
T
Bx≥0, 当 |B|=[*]=1+(一1)
n+1
a
1
a
2
…a
n
≠0。 即当a
1
.a
2
.….a
n
≠(一1)
n
时,Bx=0只有零解,故当任意的X≠0时,均有f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=(Bx)
T
Bx>0,从而由正定二次型的定义,对任意的向量(x
1
,x
2
,…,x
n
),如果f(x
1
,x
2
,…,x
n
)>0,则f(x
1
,x
2
,…,x
n
)是正定二次型。
解析
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考研数学三
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