设有n元实二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2, 其中ai(i=1,2,…,n)为实数。试问:当a1,a2,…,an满足条件时,二次型f(x1,x2,

admin2021-01-25  57

问题 设有n元实二次型
    f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2
其中ai(i=1,2,…,n)为实数。试问:当a1,a2,…,an满足条件时,二次型f(x1,x2,…,xn)为正定二次型。

选项

答案方法一:用正定性的定义判别。 已知对任意的x1,x2,…,xn均有f(x1,x2,…,xn)≥0,其中等号成立当且仅当 [*] 方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 |B|=[*]=1+(—1)n+1a1a2…an≠0, 即当a1,a2,…,an≠(一1)n时,方程组(*)只有零解,此时f(x1,x2,…,xn)=0。若对任意的非零向量x=(x1,x2,…,xn)≠0,(*)中总有一个方程不为零,则有 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2>0, 所以,根据正定二次型的定义,对任意的向量(x1,x2,…,xn),如果f(x1,x2,…,xn)≥0,则二次型正定。由以上证明题中f(x1,x2,…,xn)是正定二次型。 方法二:将二次型表示成矩阵形式,有 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2 =(x1+x1x2,x2+a2x3,…,xn-1+an-1xn,xn+anx1)[*] [*] 则 f(x1,x2,…,xn)=XTBTBx=(Bx)TBx≥0, 当 |B|=[*]=1+(一1)n+1a1a2…an≠0。 即当a1.a2.….an≠(一1)n时,Bx=0只有零解,故当任意的X≠0时,均有f(x1,x2,…,xn)=(Bx)TBx>0,从而由正定二次型的定义,对任意的向量(x1,x2,…,xn),如果f(x1,x2,…,xn)>0,则f(x1,x2,…,xn)是正定二次型。

解析
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