[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

admin2019-04-28 49

问题 [2008年] 设A为三阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃．
证明α₁，α₂，α₃线性无关；

选项

答案证一用向量组线性无关的定义证明．为利用题设条件Aα₃=α₂+α₃易想到需用A同时左乘定义等式两边．设 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0． ① 由题设，有Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，Aα₃=α₂+α₃．用A左乘式①两边，得到 k₁Aα₁+k₂Aα₂+k₃Aα₃=一k₁α₁+k₂α₂+k₃α₂+k₃α₃=0． ② 本题中隐含了α₁与α₂线性无关，因为它们是属于不同特征值的特征向量．下面利用这一点证明k₁=k₂=k₃=0．由式①一式②得到2k₁α₁一k₂α₂=0．因α₁，α₂为A的属于不同特征值的特征向量，故α₁，α₂线性无关．因而k₁=k₃=0，将其代入式①得到k₂α₂=0，又因α≠0，故k₂=0．于是α₁，α₂，α₃线性无关．证二用反证法证之．假设α₁，α₂，α₃线性相关，由证一知，α₁与α₂线性无关，故α₃可由α₁，α₂线性表出，不妨设α₃=l₁α₁+l₂α₂，其中l₁，l₂不全为零(若l₁，l₂同时为零，则α₃=0，由Aα₃=α₂+α₃得到α₂=0，这与α₂为特征向量矛盾)．因Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，故 Aα₃=α₂+α₃=α₂+l₁α₁+l₂α₂．又一l₁α₁+l₂α₂=α₂+l₁α₁+l₂α₂，即 α₂+2l₁α₁=0，则α₁与α₂线性相关．这与α₁，α₂线性无关矛盾．故α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

考研数学三

设向量组α1，…，αn为两两正交的非零向量组，证明：α1，…：αn线性无关，举例说明逆命题不成立．

设A是m×n阶矩阵，若ATA＝O，证明：A＝O．

向量组α1，α2，…，αS线性无关的充要条件是()．

设幂级数的收敛半径分别为R1,R2,且R1＜R2，设(an＋bn)x1的收敛半径为R0，则有()．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．

设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’＋y’＋qy＝Q(x)有特解y＝3e－4x＋x2＋3x＋2，则Q(x)＝，该微分方程的通解为．

两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度。

随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则()

将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于()

当a,b取何值时，方程组无解、有唯一解、有无数个解?在有无数个解时求其通解．

有关Excel2010的下列说法中，正确的是_____。

下列关于回肠的叙述，错误的是()

男性，25岁，下船时会阴部骑跨在船沿上，立即出现尿道口滴血，之后不能排尿，发生尿潴留。体检发现会阴部、阴茎和阴囊明显肿胀。对该患者的初步诊断是

房产图的测绘是先测绘分户图,再测绘分丘图,最后测绘分幅图。()

填写“出/入境货物报检单”H．S编码栏时，仅填写该商品编码的前四位即可。(　　)

资料某零售企业欲经营某种新商品，现就进货方案做出决策(见下表)。收益矩阵表单位：万元

某企业出售一台设备(不考虑相关税金)，原价160000元，已提折旧45000元，出售设备时发生各种清理费用3000元，出售设备所得价款113000元。该设备出售净收益为()元。

物业管理企业的特征可以归纳为()。

全面推进依法治国，必须大力提高法治工作队伍()，着力建设一支忠于党、忠于国家、忠于人民、忠于法律的社会主义法治工作队伍。

Divorcedoesn’tnecessarilymakeadultshappy.Buttoughingitoutinanunhappymarriageuntilitturnsaroundjustmightdo,a

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设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’＋y’＋qy＝Q(x)有特解y＝3e－4x＋x2＋3x＋2，则Q(x)＝______，该微分方程的通解为______．

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