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[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． 证明α1，α2，α3线性无关；
[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． 证明α1，α2，α3线性无关；
admin
2019-04-28
56
问题
[2008年] 设A为三阶矩阵，α
1
，α
2
为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α
3
满足Aα
3
=α
2
+α
3
．
证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关；
选项
答案
证一 用向量组线性无关的定义证明．为利用题设条件Aα
3
=α
2
+α
3
易想到需用A同时左乘定义等式两边． 设 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0． ① 由题设，有Aα
1
=一α
1
，Aα
2
=α
2
，Aα
3
=α
2
+α
3
．用A左乘式①两边，得到 k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+k
3
Aα
3
=一k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
2
+k
3
α
3
=0． ② 本题中隐含了α
1
与α
2
线性无关，因为它们是属于不同特征值的特征向量．下面利用这一点证明k
1
=k
2
=k
3
=0． 由式①一式②得到2k
1
α
1
一k
2
α
2
=0．因α
1
，α
2
为A的属于不同特征值的特征向量，故α
1
，α
2
线性无关．因而k
1
=k
3
=0，将其代入式①得到k
2
α
2
=0，又因α≠0，故k
2
=0．于是α
1
，α
2
，α
3
线性无关． 证二 用反证法证之．假设α
1
，α
2
，α
3
线性相关，由证一知，α
1
与α
2
线性无关，故α
3
可由α
1
，α
2
线性表出，不妨设α
3
=l
1
α
1
+l
2
α
2
，其中l
1
，l
2
不全为零(若l
1
，l
2
同时为零，则α
3
=0， 由Aα
3
=α
2
+α
3
得到α
2
=0，这与α
2
为特征向量矛盾)．因Aα
1
=一α
1
，Aα
2
=α
2
，故 Aα
3
=α
2
+α
3
=α
2
+l
1
α
1
+l
2
α
2
． 又 一l
1
α
1
+l
2
α
2
=α
2
+l
1
α
1
+l
2
α
2
， 即 α
2
+2l
1
α
1
=0， 则α
1
与α
2
线性相关．这与α
1
，α
2
线性无关矛盾．故α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GzJ4777K
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考研数学三
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