[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

admin2019-04-28 60

问题 [2008年] 设A为三阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃．
证明α₁，α₂，α₃线性无关；

选项

答案证一用向量组线性无关的定义证明．为利用题设条件Aα₃=α₂+α₃易想到需用A同时左乘定义等式两边．设 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0． ① 由题设，有Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，Aα₃=α₂+α₃．用A左乘式①两边，得到 k₁Aα₁+k₂Aα₂+k₃Aα₃=一k₁α₁+k₂α₂+k₃α₂+k₃α₃=0． ② 本题中隐含了α₁与α₂线性无关，因为它们是属于不同特征值的特征向量．下面利用这一点证明k₁=k₂=k₃=0．由式①一式②得到2k₁α₁一k₂α₂=0．因α₁，α₂为A的属于不同特征值的特征向量，故α₁，α₂线性无关．因而k₁=k₃=0，将其代入式①得到k₂α₂=0，又因α≠0，故k₂=0．于是α₁，α₂，α₃线性无关．证二用反证法证之．假设α₁，α₂，α₃线性相关，由证一知，α₁与α₂线性无关，故α₃可由α₁，α₂线性表出，不妨设α₃=l₁α₁+l₂α₂，其中l₁，l₂不全为零(若l₁，l₂同时为零，则α₃=0，由Aα₃=α₂+α₃得到α₂=0，这与α₂为特征向量矛盾)．因Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，故 Aα₃=α₂+α₃=α₂+l₁α₁+l₂α₂．又一l₁α₁+l₂α₂=α₂+l₁α₁+l₂α₂，即 α₂+2l₁α₁=0，则α₁与α₂线性相关．这与α₁，α₂线性无关矛盾．故α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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