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[2008年] 设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3. 证明α1,α2,α3线性无关;
[2008年] 设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3. 证明α1,α2,α3线性无关;
admin
2019-04-28
42
问题
[2008年] 设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α
3
满足Aα
3
=α
2
+α
3
.
证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
选项
答案
证一 用向量组线性无关的定义证明.为利用题设条件Aα
3
=α
2
+α
3
易想到需用A同时左乘定义等式两边. 设 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0. ① 由题设,有Aα
1
=一α
1
,Aα
2
=α
2
,Aα
3
=α
2
+α
3
.用A左乘式①两边,得到 k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+k
3
Aα
3
=一k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
2
+k
3
α
3
=0. ② 本题中隐含了α
1
与α
2
线性无关,因为它们是属于不同特征值的特征向量.下面利用这一点证明k
1
=k
2
=k
3
=0. 由式①一式②得到2k
1
α
1
一k
2
α
2
=0.因α
1
,α
2
为A的属于不同特征值的特征向量,故α
1
,α
2
线性无关.因而k
1
=k
3
=0,将其代入式①得到k
2
α
2
=0,又因α≠0,故k
2
=0.于是α
1
,α
2
,α
3
线性无关. 证二 用反证法证之.假设α
1
,α
2
,α
3
线性相关,由证一知,α
1
与α
2
线性无关,故α
3
可由α
1
,α
2
线性表出,不妨设α
3
=l
1
α
1
+l
2
α
2
,其中l
1
,l
2
不全为零(若l
1
,l
2
同时为零,则α
3
=0, 由Aα
3
=α
2
+α
3
得到α
2
=0,这与α
2
为特征向量矛盾).因Aα
1
=一α
1
,Aα
2
=α
2
,故 Aα
3
=α
2
+α
3
=α
2
+l
1
α
1
+l
2
α
2
. 又 一l
1
α
1
+l
2
α
2
=α
2
+l
1
α
1
+l
2
α
2
, 即 α
2
+2l
1
α
1
=0, 则α
1
与α
2
线性相关.这与α
1
,α
2
线性无关矛盾.故α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GzJ4777K
0
考研数学三
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