[2008年] 设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3. 证明α1,α2,α3线性无关;

admin2019-04-28  42

问题 [2008年]  设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα323
证明α1,α2,α3线性无关;

选项

答案证一 用向量组线性无关的定义证明.为利用题设条件Aα323易想到需用A同时左乘定义等式两边. 设 k1α1+k2α2+k3α3=0. ① 由题设,有Aα1=一α1,Aα22,Aα323.用A左乘式①两边,得到 k11+k22+k33=一k1α1+k2α2+k3α2+k3α3=0. ② 本题中隐含了α1与α2线性无关,因为它们是属于不同特征值的特征向量.下面利用这一点证明k1=k2=k3=0. 由式①一式②得到2k1α1一k2α2=0.因α1,α2为A的属于不同特征值的特征向量,故α1,α2线性无关.因而k1=k3=0,将其代入式①得到k2α2=0,又因α≠0,故k2=0.于是α1,α2,α3线性无关. 证二 用反证法证之.假设α1,α2,α3线性相关,由证一知,α1与α2线性无关,故α3可由α1,α2线性表出,不妨设α3=l1α1+l2α2,其中l1,l2不全为零(若l1,l2同时为零,则α3=0, 由Aα323得到α2=0,这与α2为特征向量矛盾).因Aα1=一α1,Aα22,故 Aα3232+l1α1+l2α2. 又 一l1α1+l2α22+l1α1+l2α2, 即 α2+2l1α1=0, 则α1与α2线性相关.这与α1,α2线性无关矛盾.故α1,α2,α3线性无关.

解析
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