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设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵,求对角矩阵A,使B与A相似,并求尼为何值时,B为正定矩阵?
设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵,求对角矩阵A,使B与A相似,并求尼为何值时,B为正定矩阵?
admin
2019-05-08
78
问题
设矩阵
矩阵B=(kE+A)
2
,其中k为实数,E为单位矩阵,求对角矩阵A,使B与A相似,并求尼为何值时,B为正定矩阵?
选项
答案
解一 由|λE-A|
2
=λ(λ-2)
2
=0得到A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0,且kE+A的 特征值为k+2(二重)和k,进而得到B的特征值为(k+2)
2
(二重)和k
2
.因A为实对称矩阵,kE+A也为实对称矩阵,故B=(kE+A)
2
也为实对称矩阵.利用实对称矩阵必可相似对角化得到B必与对角矩阵相似,且相似对角矩阵Λ =diag((k+2)
2
,(k+2)
2
,k
2
),于是有B~Λ . 当k≠一2且k≠0时,B的全部特征值均为正数,这时B必为正定矩阵. 解二 A为实对称矩阵,必可相似对角化,又A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0,故A~diag(2,2,0).又因B=(A+kE)
2
为A的矩阵多项式f(a)=(A+kE)
2
,其中f(x)=(x+k)
2
. 由命题2.5.3.1(2)知,A的矩阵多项式B=f(A)也相似于对角矩阵: Λ =diag(f(λ
1
),f(λ
2
),f(λ
3
))=diag((λ
1
+k)
2
,(λ
2
+k)
2
,(λ
3
+k)
2
)=diag((2+k)
2
,(2+k)
2
,k
2
). 当k≠-2且k≠0时,Λ 的主对角线上的元素,即B的全部特征值均为正数,B正定. 解三 令G=diag(2,2,0).因A为实对称矩阵,故存在正交矩阵Q,使Q
T
AQ=G,因而A=(Q
T
)
-1
GQ
-1
=QGQ
T
.注意到QQ
T
=E,有kE=Q(kE)Q
T
,则 kE+A=Q(kE+G)Q
T
=Q diag(k+2,k+2,k)Q
T
, B=(kE+A)
2
=Q(diag(k+2,k+2,k))
2
Q
T
=Q diag((k+2)
2
,(k+2)
2
,k
2
)Q
T
. 故B~Λ =diag((k+2)
2
,(k+2)
2
,k).所以当k≠-2且k≠0时,B的特征值全为正数,因而B为正定矩阵.
解析
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考研数学三
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