设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵,求对角矩阵A,使B与A相似,并求尼为何值时,B为正定矩阵?

admin2019-05-08  35

问题 设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵,求对角矩阵A,使B与A相似,并求尼为何值时,B为正定矩阵?

选项

答案解一 由|λE-A|2=λ(λ-2)2=0得到A的特征值λ12=2,λ3=0,且kE+A的 特征值为k+2(二重)和k,进而得到B的特征值为(k+2)2(二重)和k2.因A为实对称矩阵,kE+A也为实对称矩阵,故B=(kE+A)2也为实对称矩阵.利用实对称矩阵必可相似对角化得到B必与对角矩阵相似,且相似对角矩阵Λ =diag((k+2)2,(k+2)2,k2),于是有B~Λ . 当k≠一2且k≠0时,B的全部特征值均为正数,这时B必为正定矩阵. 解二 A为实对称矩阵,必可相似对角化,又A的特征值为λ12=2,λ3=0,故A~diag(2,2,0).又因B=(A+kE)2为A的矩阵多项式f(a)=(A+kE)2,其中f(x)=(x+k)2. 由命题2.5.3.1(2)知,A的矩阵多项式B=f(A)也相似于对角矩阵: Λ =diag(f(λ1),f(λ2),f(λ3))=diag((λ1+k)2,(λ2+k)2,(λ3+k)2)=diag((2+k)2,(2+k)2,k2). 当k≠-2且k≠0时,Λ 的主对角线上的元素,即B的全部特征值均为正数,B正定. 解三 令G=diag(2,2,0).因A为实对称矩阵,故存在正交矩阵Q,使QTAQ=G,因而A=(QT)-1GQ-1=QGQT.注意到QQT=E,有kE=Q(kE)QT,则 kE+A=Q(kE+G)QT=Q diag(k+2,k+2,k)QT, B=(kE+A)2=Q(diag(k+2,k+2,k))2QT=Q diag((k+2)2,(k+2)2,k2)QT. 故B~Λ =diag((k+2)2,(k+2)2,k).所以当k≠-2且k≠0时,B的特征值全为正数,因而B为正定矩阵.

解析
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