首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵,求对角矩阵A,使B与A相似,并求尼为何值时,B为正定矩阵?
设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵,求对角矩阵A,使B与A相似,并求尼为何值时,B为正定矩阵?
admin
2019-05-08
98
问题
设矩阵
矩阵B=(kE+A)
2
,其中k为实数,E为单位矩阵,求对角矩阵A,使B与A相似,并求尼为何值时,B为正定矩阵?
选项
答案
解一 由|λE-A|
2
=λ(λ-2)
2
=0得到A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0,且kE+A的 特征值为k+2(二重)和k,进而得到B的特征值为(k+2)
2
(二重)和k
2
.因A为实对称矩阵,kE+A也为实对称矩阵,故B=(kE+A)
2
也为实对称矩阵.利用实对称矩阵必可相似对角化得到B必与对角矩阵相似,且相似对角矩阵Λ =diag((k+2)
2
,(k+2)
2
,k
2
),于是有B~Λ . 当k≠一2且k≠0时,B的全部特征值均为正数,这时B必为正定矩阵. 解二 A为实对称矩阵,必可相似对角化,又A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0,故A~diag(2,2,0).又因B=(A+kE)
2
为A的矩阵多项式f(a)=(A+kE)
2
,其中f(x)=(x+k)
2
. 由命题2.5.3.1(2)知,A的矩阵多项式B=f(A)也相似于对角矩阵: Λ =diag(f(λ
1
),f(λ
2
),f(λ
3
))=diag((λ
1
+k)
2
,(λ
2
+k)
2
,(λ
3
+k)
2
)=diag((2+k)
2
,(2+k)
2
,k
2
). 当k≠-2且k≠0时,Λ 的主对角线上的元素,即B的全部特征值均为正数,B正定. 解三 令G=diag(2,2,0).因A为实对称矩阵,故存在正交矩阵Q,使Q
T
AQ=G,因而A=(Q
T
)
-1
GQ
-1
=QGQ
T
.注意到QQ
T
=E,有kE=Q(kE)Q
T
,则 kE+A=Q(kE+G)Q
T
=Q diag(k+2,k+2,k)Q
T
, B=(kE+A)
2
=Q(diag(k+2,k+2,k))
2
Q
T
=Q diag((k+2)
2
,(k+2)
2
,k
2
)Q
T
. 故B~Λ =diag((k+2)
2
,(k+2)
2
,k).所以当k≠-2且k≠0时,B的特征值全为正数,因而B为正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ysJ4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
求.
f(x)在[一1,1]上连续,则x=0是函数g(x)=的().
设随机变量X在1,2,3中等可能地取值,随机变量Y在1~X中等可能地取值。求:(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的联合分布律及边缘分布律;(Ⅱ)求在Y=2的条件下X的条件分布。
设f(x)在[a,b]上连续,且f’’(x)>0,对任意的x1,x2∈[a,b]及0<λ<1,证明:f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).
微分方程xy’=+y(x>0)的通解为______.
设A为n阶正定矩阵.证明:对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵.
设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明:BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.
证明:S(x)=满足微分方程y(4)-y=0并求和函数S(x).
设平面区域D由曲线与直线及y轴围成,计算二重积分
设函数y=y(x)由e2x+y—cosxy=e一1确定,则曲线y=y(x)在x=0处的法线方程为___________.
随机试题
A.脐部圆形包块,加腹压后包块突出,平卧时包块消失B.卵黄管的脐端未闭,遗留较短的盲管C.脐带周围发生缺损,腹腔内脏脱出体外D.出生后见胃肠突出于腹壁外,脐和脐带正常,腹壁裂孔在脐的右侧并为纵向E.卵黄管的脐端有残留的黏膜形成息肉样红色突起,少量液
A、祛暑利湿,补气生津B、祛暑除湿,和胃消食C、祛暑解表,清热生津D、解表化湿,理气和中E、清热解毒,利湿化浊六合定中丸的功效()。
第二类精神药品处方印刷用纸为
抢救青霉素过敏性休克的首选药物是
EVA、PE类聚合物改性沥青混合料的废弃温度为()。
某公司为获得一项工程合同,拟向工程发包方的有关人员支付好处费8万元,公司市场部持公司的批示到财务部领取该笔款项。财务部经理谢某认为该项支出不符合有关规定,但考虑到公司主要领导已作了批示,遂同意拨付了款项。对谢某做法的下列认定中正确的是()。
我国对资本主义工商业进行社会主义改造的政策是和平赎买。()
小刚在一次演讲比赛中有五名裁判给他打分,除去最低分外,他的平均成绩是96分;加上最低分,它的平均成绩下降了3分。问其中打的最低分是多少?()
设f(x)连续,其中V={(x,y,z)|x2+y2≤t2,0≤z≤h}(t>0),求其中,[x]表示不超过x的最大整数.
WhatcanbecitedtoshowMr.Eliasson’sunderstandingoftotal-immersionart?
最新回复
(
0
)