设A是n阶实对称矩阵，B,C为n阶矩阵，满足条件 (A+2E)B=O,(A－3E)C=O 且r(B)=r(0＜r＜n),r(B)+r(C)=n，则二次型f(x1，x2，…，xn）=xTAx的规范形为________.

admin2022-03-23 58

问题设A是n阶实对称矩阵，B,C为n阶矩阵，满足条件
(A+2E)B=O,(A－3E)C=O
且r(B)=r(0＜r＜n),r(B)+r(C)=n，则二次型f(x₁，x₂，…，x_n）=x^TAx的规范形为________.

选项

答案y₁²+y₂²+…+y_n-r²－y_n-r+1²－…－y_n²

解析因(A+2E)B=O,r(B)=r，则B中列向量组的极大线性无关组向量个数为r,且该极大线性无关组是(A+2E)x=0的解，设为β₁，β₂，…，β_r,也是A的对应于特征值λ=－2的线性无关的特征向量。
又(A－3E)C=O，因r(C)=n－r(B)=n－r，故C中列向量组的极大线性无关组向量个数为n－r，且该极大线性无关组是(A－3E)x=0的解，也是A的对应于特征值λ=3的线性无关的特征向量，记为γ₁，γ₂，...，γ_n-r，故x^TAx的正惯性指数为n－r，负惯性指数为γ。
故f(x₁，x₂，...，x_n)=x^TAx的规范形为y₁²+y₂²+…+y_n-r²－y_n-r+1²－…－y_n²。
注意：x^TAx的标准形为
3y₁²+3y₂²+…+3y_n-r²－2y_n-r+1²－…－2y_n²。
不要与规范形相混淆。

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考研数学三

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