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设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明当导函数f’(x)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界。
设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明当导函数f’(x)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界。
admin
2019-01-15
87
问题
设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明当导函数f
’
(x)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界。
选项
答案
设x
0
,x∈(a,b),则f(x)在以x
0
,x为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件,因此f(x)-f(x
0
)=f
’
(ξ)(x- x
0
),ξ∈(x
0
,x)。 因为f
’
(x)在(a,b)内有界,即存在N>0,使︱f
’
(x)︱<N,x∈(a,b),所以 ︱f(x)︱=︱f(x)-f(x
0
)+f(x
0
)︱≤︱f(x)-f(x
0
)︱+︱f(x
0
)︱≤︱f
’
(ξ)(b-a)︱+︱f(x
0
)︱≤N(b-a)+︱f(x
0
)︱=M。 根据有界的定义f(x)在(a,b)内有界。
解析
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考研数学三
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