(01年)设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(χ1,χ2,…,χn)=. (1)记X=(χ1,χ2,…,χn)T,把f(χ1,χ2,…χn)写成矩阵形式,并证

admin2017-05-26  40

问题 (01年)设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(χ1,χ2,…,χn)=
    (1)记X=(χ1,χ2,…,χn)T,把f(χ1,χ2,…χn)写成矩阵形式,并证明二次型f(X)的矩阵为A-1
    (2)二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.

选项

答案(1)因为A为对称矩阵,所以Aij=Aji(i,j=1,2,…,n).因此f(X)的矩阵形式为 [*] 因秩(A)=n,故A可逆,且 [*] 从而 (A-1)T=(AT)-1=A-1 故A-1也是实对称矩阵.因此,二次型f(X)的矩阵为 [*] (2) 因为 (A-1)TAA-1=(AT)-1E=A-1 所以A与A-1合同,于是g(X)=XTAX与f(X)有相同的规范形.

解析
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