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(01年)设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(χ1,χ2,…,χn)=. (1)记X=(χ1,χ2,…,χn)T,把f(χ1,χ2,…χn)写成矩阵形式,并证
(01年)设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(χ1,χ2,…,χn)=. (1)记X=(χ1,χ2,…,χn)T,把f(χ1,χ2,…χn)写成矩阵形式,并证
admin
2017-05-26
55
问题
(01年)设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,A
ij
是A=(a
ij
)
n×n
中元素a
ij
的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)=
.
(1)记X=(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)
T
,把f(χ
1
,χ
2
,…χ
n
)写成矩阵形式,并证明二次型f(X)的矩阵为A
-1
.
(2)二次型g(X)=X
T
AX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.
选项
答案
(1)因为A为对称矩阵,所以A
ij
=A
ji
(i,j=1,2,…,n).因此f(X)的矩阵形式为 [*] 因秩(A)=n,故A可逆,且 [*] 从而 (A
-1
)
T
=(A
T
)
-1
=A
-1
故A
-1
也是实对称矩阵.因此,二次型f(X)的矩阵为 [*] (2) 因为 (A
-1
)
T
AA
-1
=(A
T
)
-1
E=A
-1
所以A与A
-1
合同,于是g(X)=X
T
AX与f(X)有相同的规范形.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ctH4777K
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考研数学三
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