2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．

设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．

admin2021-07-27  49
问题 设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．
选项
答案因[ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)]=[ξ1，λ1ξ1+λ2ξ2，λ12ξ1+λ22ξ2+λ2ξ3]-[ξ1，ξ2，ξ3][*]又λ1≠λ2≠λ3，故ξ1，ξ2，ξ3线性无关，由上式知ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关→[*]=λ2λ32≠0，即λ2λ3≠0．
解析
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考研数学二

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