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设A= (1)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3; (2)对(1)中任意向量ξ2和ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.
设A= (1)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3; (2)对(1)中任意向量ξ2和ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.
admin
2016-05-09
33
问题
设A=
(1)求满足Aξ
2
=ξ
1
,A
2
ξ
3
=ξ
1
的所有向量ξ
2
,ξ
3
;
(2)对(1)中任意向量ξ
2
和ξ
3
,证明ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.
选项
答案
(1)对增广矩阵(A[*]ξ
1
)作初等行变换,则 [*] 得Aχ=0的基础解系(1,-1,2)
T
或者Aχ=ξ
1
的特解(0,0,1)
T
. 故ξ
2
=(0,0,1)
T
+k(1,-1,2)
T
或ξ
2
=(k,-k,2k+1)
T
,其中k为任意常数. 由于A
2
=[*],对增广矩阵(A
2
[*]ξ
1
)作初等行变换,有 [*] 得A
2
χ=0的基础解系(-1,1,0)
T
,(0,0,1)
T
. 又A
2
χ=ξ
1
有特解([*],0,0)
T
.故 ξ
3
=([*],0,0)
T
+t
1
(-1,1,0)
T
+t
2
(0,0,1)
T
或ξ
3
=([*]-t,t,t)
T
,其中t
1
,t
2
为任意常数. (2)因为 [*] 所以,ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rrw4777K
0
考研数学一
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