设A= (1)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3; (2)对(1)中任意向量ξ2和ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.

admin2016-05-09  33

问题 设A=
    (1)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3
    (2)对(1)中任意向量ξ2和ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.

选项

答案(1)对增广矩阵(A[*]ξ1)作初等行变换,则 [*] 得Aχ=0的基础解系(1,-1,2)T或者Aχ=ξ1的特解(0,0,1)T. 故ξ2=(0,0,1)T+k(1,-1,2)T或ξ2=(k,-k,2k+1)T,其中k为任意常数. 由于A2=[*],对增广矩阵(A2[*]ξ1)作初等行变换,有 [*] 得A2χ=0的基础解系(-1,1,0)T,(0,0,1)T. 又A2χ=ξ1有特解([*],0,0)T.故 ξ3=([*],0,0)T+t1(-1,1,0)T+t2(0,0,1)T或ξ3=([*]-t,t,t)T,其中t1,t2为任意常数. (2)因为 [*] 所以,ξ1,ξ2,ξ3线性无关.

解析
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