[2003年] 有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1.3.5.10),容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求,当以3 m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设

admin2019-04-17  46

问题 [2003年]  有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1.3.5.10),容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求,当以3 m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).

根据t时刻液面的面积,写出t与φ(y)之间的关系式;

选项

答案 液面的面积以πm2/min的速率均匀扩大, 因此t时刻液面面积应为π·22+πt,而液面为圆,其面积可易求得为πφ2(y),由此可导出t与φ(y)之间的关系式.液体体积可根据旋转体的体积公式用定积分求出,又已知t时刻的液体体积为3t,据此又可建立积分关系式,求导后转化为微分方程求解即可. 设在t时刻,液面的高度为y,则由题设知此时液面的面积为πφ2(y)=4π+πt, 从而t=φ2(y)一4.

解析
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