[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设

admin2019-04-17 68

问题 [2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m³／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm²／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．

根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；

选项

答案液面的面积以πm²／min的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为π·2²+πt，而液面为圆，其面积可易求得为πφ²(y)，由此可导出t与φ(y)之间的关系式．液体体积可根据旋转体的体积公式用定积分求出，又已知t时刻的液体体积为3t，据此又可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可．设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为πφ²(y)=4π+πt，从而t=φ²(y)一4．

解析

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考研数学二

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[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设

考研数学二

说明下列事实的几何意义：(Ⅰ)函数f(χ)，g(χ)在点χ＝χ0处可导，且f(χ0)＝g(χ0)，f′(χ0)＝g′(χ0)；(Ⅱ)函数)y＝f(χ)在点χ＝χ0处连续，且有＝∞．

位于上半平面向上凹的曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为0，在点(2，2)处的切线斜率为1．已知曲线上任一点处的曲率半径与的乘积成正比，求该曲线方程．

已知齐次线性方程组(I)的基础解系为ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，一1]T，ξ3=[0，2，1，一1]T，添加两个方程后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．

设f(x)在[a，b上连续，且f(x)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．

已知A=，a是一个实数．(1)求作可逆矩阵U，使得U－1AU是对角矩阵．(2)计算｜A－E｜．

求极限

设X和Y是相互独立的且均服从正态分布N(0，)的随机变量，求Z=｜X—Y｜的数学期望。

从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层．设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变．已知其厚度h的减少率与h3成正比，试证明：其半径r的增加率与r3成反比．

用比较判别法判定下列级数的敛散性：

(1999年)设向量组α1=[1，1，1，3]T，α2=[-1，-3，5，1]T，α3=[3，2，-1，p+2]T，α4=[-2．-6，10，p]T．(1)p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=[4，1，6，10]T用α1，α2，α3，α4线性

对冠状循环叙述，正确的是()。

新纹体包括_和_。

下列化合物中，不含高能磷酸键的是

关于预激综合征的治疗，不正确的是

浑浊位于角膜基质浅层，呈灰白色，边界不清，有时肉眼不能看清。属于何种瘢痕性角膜浑浊

下列关于体质偏阴者的叙述，正确的是

按照剥离是否符合公司的意愿，剥离可以划分为()。

外商投资旅行社可以经营()。

Alice,______wheretofindthebook,askedhermotherwherethebookWas.

[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设

考研数学二

说明下列事实的几何意义：(Ⅰ)函数f(χ)，g(χ)在点χ＝χ0处可导，且f(χ0)＝g(χ0)，f′(χ0)＝g′(χ0)；(Ⅱ)函数)y＝f(χ)在点χ＝χ0处连续，且有＝∞．

位于上半平面向上凹的曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为0，在点(2，2)处的切线斜率为1．已知曲线上任一点处的曲率半径与的乘积成正比，求该曲线方程．

已知齐次线性方程组(I)的基础解系为ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，一1]T，ξ3=[0，2，1，一1]T，添加两个方程后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．

设f(x)在[a，b上连续，且f(x)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．

已知A=，a是一个实数．(1)求作可逆矩阵U，使得U－1AU是对角矩阵．(2)计算｜A－E｜．

求极限

设X和Y是相互独立的且均服从正态分布N(0，)的随机变量，求Z=｜X—Y｜的数学期望。

从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层．设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变．已知其厚度h的减少率与h3成正比，试证明：其半径r的增加率与r3成反比．

用比较判别法判定下列级数的敛散性：

(1999年)设向量组α1=[1，1，1，3]T，α2=[-1，-3，5，1]T，α3=[3，2，-1，p+2]T，α4=[-2．-6，10，p]T．(1)p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=[4，1，6，10]T用α1，α2，α3，α4线性

对冠状循环叙述，正确的是()。

新纹体包括___________和___________。

下列化合物中，不含高能磷酸键的是

关于预激综合征的治疗，不正确的是

浑浊位于角膜基质浅层，呈灰白色，边界不清，有时肉眼不能看清。属于何种瘢痕性角膜浑浊

下列关于体质偏阴者的叙述，正确的是

按照剥离是否符合公司的意愿，剥离可以划分为()。

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Alice,______wheretofindthebook,askedhermotherwherethebookWas.

新纹体包括_和_。