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设是二阶常系数线性非齐次方程的解,求该微分方程的通解及该方程.
设是二阶常系数线性非齐次方程的解,求该微分方程的通解及该方程.
admin
2019-08-21
81
问题
设
是二阶常系数线性非齐次方程的解,求该微分方程的通解及该方程.
选项
答案
设所求二阶常系数线性非齐次方程为 y"+a
1
yˊ+a
2
y=f(x), (*) 对应的齐次方程为 y"+a
1
yˊ+a
2
y=0, (**) 由非齐次方程与齐次方程解的关系,可知y
2
-y
1
=e
2x
,y
3
-y
1
=xe
2x
是方程(**)的解.又[*](常数),故方程(**)的通解为[*] 由线性微分方程解的结构,非齐次方程通解为[*] 由齐次方程(**)通解的形式可知λ=2为特征方程λ
2
+a
1
λ+a
2
=0的二重根. 由根与系数关系可得a
1
=-4,a
2
=4.于是方程(*)为 y"-4yˊ+4y=f(x), 因为y
1
=x为其解,将其代入有x〃-4xˊ+4x=f(x),则 f(x)=4(x-1). 故所求方程为y"-4yˊ+4y=4(x-1).
解析
由二阶线性非齐次微分方程与齐次微分方程的解之间的关系,先求出方程的通解,再由通解形式求方程.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZKN4777K
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考研数学二
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