设是二阶常系数线性非齐次方程的解，求该微分方程的通解及该方程．

admin2019-08-21 67

问题设

是二阶常系数线性非齐次方程的解，求该微分方程的通解及该方程．

选项

答案设所求二阶常系数线性非齐次方程为 y"+a₁yˊ+a₂y=f(x)， (*) 对应的齐次方程为 y"+a₁yˊ+a₂y=0， (**) 由非齐次方程与齐次方程解的关系，可知y₂-y₁=e^2x，y₃-y₁=xe^2x是方程(**)的解．又[*](常数)，故方程(**)的通解为[*] 由线性微分方程解的结构，非齐次方程通解为[*] 由齐次方程(**)通解的形式可知λ=2为特征方程λ²+a₁λ+a₂=0的二重根．由根与系数关系可得a₁=-4，a₂=4．于是方程(*)为 y"-4yˊ+4y=f(x)，因为y₁=x为其解，将其代入有x〃-4xˊ+4x=f(x)，则 f(x)=4(x-1)．故所求方程为y"-4yˊ+4y=4(x-1)．

解析由二阶线性非齐次微分方程与齐次微分方程的解之间的关系，先求出方程的通解，再由通解形式求方程．

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考研数学二

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