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设f(x)=∫-1xt|t|dt(x≥一1),求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。
设f(x)=∫-1xt|t|dt(x≥一1),求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。
admin
2019-04-22
66
问题
设f(x)=∫
-1
x
t|t|dt(x≥一1),求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。
选项
答案
因为t|t|为奇函数,可知其原函数 f(x)=∫
-1
x
t|t|dt=∫
-1
0
t|t|dt+∫
0
x
t|t|dt为偶函数,由f(一1)=0,得f(1)=0,即y=f(x)与x轴有交点(一1,0),(1,0)。 又由f
’
(x)=x|x|,可知x<0时,f
’
(x)<0,故f(x)单调减少,因此f(x)<f(一1)=0(一1<x≤0)。 当x>0时,f
’
(x)=x|x|>0,故f(x)单调增加,所以当x>0时,y=f(x)与x轴有一交点(1,0)。综上,y=f(x)与x轴交点仅有两个。 所以封闭曲线所围面积 A=∫
-1
1
|f(x)|dx=2∫
-1
0
|f(x)|dx。 当x<0时,f(x)=∫
-1
x
t|t|dt=∫
-1
x
一t
2
dt=一[*](1+x
3
),因此 A=2∫
-1
0
[*](1+x
3
)dx=[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZRV4777K
0
考研数学二
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