设f(x)=∫－1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。

admin2019-04-22 70

问题设f(x)=∫_－1^xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。

选项

答案因为t｜t｜为奇函数，可知其原函数 f(x)=∫_－1^xt｜t｜dt=∫_－1⁰t｜t｜dt+∫₀^xt｜t｜dt为偶函数，由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(一1，0)，(1，0)。又由f^’(x)=x｜x｜，可知x＜0时，f^’(x)＜0，故f(x)单调减少，因此f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)。当x＞0时，f^’(x)=x｜x｜＞0，故f(x)单调增加，所以当x＞0时，y=f(x)与x轴有一交点(1，0)。综上，y=f(x)与x轴交点仅有两个。所以封闭曲线所围面积 A=∫_－1¹｜f(x)｜dx=2∫_－1⁰｜f(x)｜dx。当x＜0时，f(x)=∫_－1^xt｜t｜dt=∫_－1^x一t²dt=一[*](1+x³)，因此 A=2∫_－1⁰[*](1+x³)dx=[*]。

解析

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考研数学二

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