2. 考研
  3. 设α1=(1，1，1)，α2=(1，2，3)，α3=(1，3，t) (1)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关? (2)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关? (3)当向量组α1，α2，α3线性相关时，将α3表示为α1和α2的线性组合．

设α1=(1，1，1)，α2=(1，2，3)，α3=(1，3，t) (1)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关? (2)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关? (3)当向量组α1，α2，α3线性相关时，将α3表示为α1和α2的线性组合．

admin2018-07-26  26
问题 设α1=(1，1，1)，α2=(1，2，3)，α3=(1，3，t)
(1)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?
(2)问当t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?
(3)当向量组α1，α2，α3线性相关时，将α3表示为α1和α2的线性组合．
选项
答案1 由于行列式 [*] 所以，当t≠5时，D≠0，此时向量组α1，α2，α3线性无关； 当t=5时，D=0，此时向量组α1，α2，α3线性相关． 当t=5时，对矩阵[α1T α2T[*]α3T]作初等行变换： [α1T α2T[*]α3T] [*] 由此即知α3=－α1+2α2． 2 对矩阵A=[α1T α2T α3T]作初等行变换： [*] 由此可知，当t≠5时，r(A)=3，此时向量组α1，α2，α3线性无关；当t=5时，r(A)=2，此时向量组α1，α2，α3线性相关，此时，有 [*] 于是得α3=－α1+2α2．
解析 本题主要考查向量组的线性相关性与向量组所构成矩阵的秩的关系，以及如何求解线性表示的问题．注意，向量β由向量组α1，…，αn线性表示的问题，等价于一个非齐次线性方程组的问题，这个方程组的增广矩阵为
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考研数学三

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