设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤ex-1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于

admin2016-10-20 54

问题设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤e^x-1；
(Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e^x-1分别交于点P₂和P₁；
(Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P₁P₂之长．
求函数f(x)的表达式．

选项

答案如图6．1，设动直线MN上各点的横坐标为x，由题设知 [*] 于是，函数f(x)满足方程[*]=e^x-1-f(x)．由f(x)及e^x连续知变上限定积分[*]可导，从而f(x)可导．将上述方程两端对x求导，得 f(x)=e^x-f’(x)，又因f(0)=0，于是f(x)是一阶线性方程y’+y=e^x满足初始条件y(0)=0的特解．解之即得 [*]

解析

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考研数学三

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设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤ex-1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于

考研数学三

设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是()．

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是()．

若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，其中a＜x1＜x2＜x3＜b，证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．

设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，x∈[a，b]，证明：(1)Fˊ(x)≥2；(2)方程F(x)＝0在区间(a，b)内有且仅有一个根．

写出下列曲线绕指定轴旋转所生成的旋转曲面的方程：(1)xOy平面上的抛物线z2＝5x绕x轴旋转；(2)xOy平面上的双曲线4x2－9y2＝36绕y轴旋转；(3)xOy平面上的圆(x－2)2＋y2＝1绕y轴旋转；(4)yOz平面上的直线2y－3z＋1

求下列欧拉方程的通解:(1)x2y〞＋3xyˊ＋y＝0；(2)x2y〞－4xyˊ＋6y＝x；(3)y〞－yˊ／x＋y／xx＝2／x；(4)x3y〞ˊ＋3x2y〞－2xyˊ＋2y＝0；(5)x2y〞＋xyˊ－4y＝x3；(6)x

在求直线l与平面Ⅱ的交点时，可将l的参数方程x＝xo＋mt，y＝yo＋nt，z＝zo＋pt代入Ⅱ的方程Ax＋By＋Cz＋D＝0，求出相应的t值．试问什么条件下，t有唯一解、无穷多解或无解?并从几何上对所得结果加以说明．

求下列微分方程的通解：(1)y〞＋2yˊ－3y＝e－3x；(2)y〞－5yˊ＋4y＝x2－2x＋1；(3)y〞－3yˊ＝2e2xsinx；(4)y〞－2yˊ＋y＝x(1＋2ex)；(5)y〞＋4y＝xcosx；(6)y〞－y＝

差分方程yt＋1－yt=t2t的通解为_________．

方程yy〞＝1＋yˊ2满足初始条件y(0)＝1，yˊ(0)＝O的通解为________．

强化传热速率的途径有哪些？其主要途径和采取措施是什么？

合同成立后，如果按照合同有关条款或者交易习惯仍不能确定的，《合同法》规定，价款或者报酬不明确的，按照()履行。

股份有限公司清算后的剩余财产，应该按照(　　)比例分配。

公安机关职责的特点包括()。

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

下列选项中，符合所给图形的变化规律的是()。

建立近代警察制度较早的国家是美国和英国。（）

设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤ex-1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于

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设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是()．

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是()．

若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，其中a＜x1＜x2＜x3＜b，证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．

设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，x∈[a，b]，证明：(1)Fˊ(x)≥2；(2)方程F(x)＝0在区间(a，b)内有且仅有一个根．

写出下列曲线绕指定轴旋转所生成的旋转曲面的方程：(1)xOy平面上的抛物线z2＝5x绕x轴旋转；(2)xOy平面上的双曲线4x2－9y2＝36绕y轴旋转；(3)xOy平面上的圆(x－2)2＋y2＝1绕y轴旋转；(4)yOz平面上的直线2y－3z＋1

求下列欧拉方程的通解:(1)x2y〞＋3xyˊ＋y＝0；(2)x2y〞－4xyˊ＋6y＝x；(3)y〞－yˊ／x＋y／xx＝2／x；(4)x3y〞ˊ＋3x2y〞－2xyˊ＋2y＝0；(5)x2y〞＋xyˊ－4y＝x3；(6)x

在求直线l与平面Ⅱ的交点时，可将l的参数方程x＝xo＋mt，y＝yo＋nt，z＝zo＋pt代入Ⅱ的方程Ax＋By＋Cz＋D＝0，求出相应的t值．试问什么条件下，t有唯一解、无穷多解或无解?并从几何上对所得结果加以说明．

求下列微分方程的通解：(1)y〞＋2yˊ－3y＝e－3x；(2)y〞－5yˊ＋4y＝x2－2x＋1；(3)y〞－3yˊ＝2e2xsinx；(4)y〞－2yˊ＋y＝x(1＋2ex)；(5)y〞＋4y＝xcosx；(6)y〞－y＝

差分方程yt＋1－yt=t2t的通解为_________．

方程yy〞＝1＋yˊ2满足初始条件y(0)＝1，yˊ(0)＝O的通解为________．

强化传热速率的途径有哪些？其主要途径和采取措施是什么？

合同成立后，如果按照合同有关条款或者交易习惯仍不能确定的，《合同法》规定，价款或者报酬不明确的，按照()履行。

股份有限公司清算后的剩余财产，应该按照( )比例分配。

公安机关职责的特点包括()。

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

下列选项中，符合所给图形的变化规律的是()。

建立近代警察制度较早的国家是美国和英国。（）

股份有限公司清算后的剩余财产，应该按照(　　)比例分配。