设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤ex-1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于

admin2016-10-20 78

问题设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤e^x-1；
(Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e^x-1分别交于点P₂和P₁；
(Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P₁P₂之长．
求函数f(x)的表达式．

选项

答案如图6．1，设动直线MN上各点的横坐标为x，由题设知 [*] 于是，函数f(x)满足方程[*]=e^x-1-f(x)．由f(x)及e^x连续知变上限定积分[*]可导，从而f(x)可导．将上述方程两端对x求导，得 f(x)=e^x-f’(x)，又因f(0)=0，于是f(x)是一阶线性方程y’+y=e^x满足初始条件y(0)=0的特解．解之即得 [*]

解析

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考研数学三

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设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤ex-1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于

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