2. 考研
  3. 设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤ex-1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于

设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤ex-1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于

admin2016-10-20  33
问题 设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤ex-1；
    (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别交于点P2和P1；
    (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P1P2之长．
求函数f(x)的表达式．   
选项
答案如图6．1，设动直线MN上各点的横坐标为x，由题设知 [*] 于是，函数f(x)满足方程[*]=ex-1-f(x)． 由f(x)及ex连续知变上限定积分[*]可导，从而f(x)可导．将上述方程两端对x求导，得 f(x)=ex-f’(x)， 又因f(0)=0，于是f(x)是一阶线性方程y’+y=ex满足初始条件y(0)=0的特解．解之即得 [*]
解析
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考研数学三

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