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设f(x)在(a，b)内二阶可导，且f"(x)＞0，证明：对于(a，b)内任意两点x1，x2及0≤t≤1，有f[(1一t)x1+tx2]＜(1一t)f(x1)+ty(x2)．
设f(x)在(a，b)内二阶可导，且f"(x)＞0，证明：对于(a，b)内任意两点x1，x2及0≤t≤1，有f[(1一t)x1+tx2]＜(1一t)f(x1)+ty(x2)．
admin
2020-05-02
35
问题
设f(x)在(a，b)内二阶可导，且f"(x)＞0，证明：对于(a，b)内任意两点x
1
，x
2
及0≤t≤1，有f[(1一t)x
1
+tx
2
]＜(1一t)f(x
1
)+ty(x
2
)．
选项
答案
方法一 设x
0
=(1－t)x
1
+tx
2
．f(x)在点x=x
0
处的一阶泰勒公式为 [*] 因为f"(x)＞0，所以f(x)＞f(x
0
)+f′(x
0
)(x－x
0
)，故 f(x
1
)＞f(x
0
)+f′(x
0
)(x
1
－x
0
)，f(x
2
)＞f(x
0
)+f′(x
0
)(x
2
－x
0
) 从而 (1－t)f(x
1
)+tf(x
2
) ＞(1－t)[f(x
0
)+f′(x
0
)(x
1
－x
0
)]+t[f(x
0
)+f′(x
0
)(x
2
－x
0
)] =(1－t)f(x
0
)+(1－t)f′(x
0
)(x
1
－x
0
)+tf(x
0
)+tf′(x
0
)(x
2
－x
0
) =f(x
0
)[(1－t)+t]+(1－t)tf′(x
0
)(x
1
－x
2
)+(1－t)tf’(x
0
)(x
2
－x
1
) =f(x
0
)=f[(1－t)x
1
+tx
2
] 因此 f[(1－t)x
1
+tx
2
]＜(1－t)f(x
1
)+tf(x
2
) 方法二 设x
0
=(1－t)x
1
+tx
2
．于是由拉格朗日中值定理，得 f[(1－t)x
1
+tx
2
]－(1－t)f(x
1
)－tf(x
2
) =(1－t)f[(1－t)x
1
+tx
2
]－(1－t)f(x
1
)+tf[(1－t)x
1
+tx
2
]－tf(x
2
) =(1－t){f[(1－t)x
1
+tx
2
]－f(x
1
))+t{f[(1－t)x
1
+tx
2
]－f(x
2
)) =(1－t)tf′(ξ
1
)(x
2
－x
1
)+t(1－t)f′(ξ
2
)(x
1
－x
2
) =(1－t)t(x
2
－x
1
)[f′(ξ
1
)－f′(ξ
2
)] =(1－t)t(x
2
－x
1
)(ξ
1
－ξ
2
)f"(ξ) 不妨设x
1
＜x
2
2，于是x
1
＜ξ
1
＜(1－t)x
1
+tx
2
＜ξ＜x
2
，所以x
2
＞x
1
，ξ
2
＞ξ
1
，再由f"(x)＞0，可推知(1－t)t(x
2
－x
1
)(ξ
1
－ξ
2
)f"(ξ)＜0．因此 f[(1－t)x
1
+tx
2
]＜(1－t)f(x
1
)+tf(x
2
)
解析
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0
考研数学一
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