设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为 (b1，…，br)=(a1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(I)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

admin2019-01-19 52

问题设向量组(I)：b₁，…，b_r能由向量组(Ⅱ)：a₁，…，a_s线性表示为
(b₁，…，b_r)=(a₁，…，a_s)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(I)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

选项

答案必要性：令B=(b_1r)，A=(a₁，…，a_s)，则有B=AK，由定理 r(B)=r(AK)≤min{r(A)，r(K)}，结合向量组(I)：b₁，b₂，…，b_r，线性无关知r(B)=r，故r(K)≥r。又因为K为r×s阶矩阵，则有r(K)≤min{r，s}。且由向量组(I)：b₁，b₂，…，b_r，能由向量组(Ⅱ)：a₁，a₂，…，a_s线性表示，则有r≤s，即min{r，s}=r。综上所述r≤r(K)≤r，即r(K)=r。充分性：已知r(K)=r，向量组(Ⅱ)线性无关，r(A)=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使 PA=[*] 于是有PB=PAK=[*]。由矩阵秩的性质 r(B)=r(PB)=r[*]=r(K)，即r(B)=r(K)=r，因此向量组(I)线性无关。

解析

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考研数学三

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设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为 (b1，…，br)=(a1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(I)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

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