2. 考研
  3. 设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为 (b1，…，br)=(a1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(I)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为 (b1，…，br)=(a1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(I)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

admin2019-01-19  50
问题 设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为
    (b1，…，br)=(a1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(I)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。
选项
答案必要性：令B=(b1r)，A=(a1，…，as)，则有B=AK，由定理 r(B)=r(AK)≤min{r(A)，r(K)}， 结合向量组(I)：b1，b2，…，br，线性无关知r(B)=r，故r(K)≥r。 又因为K为r×s阶矩阵，则有r(K)≤min{r，s}。 且由向量组(I)：b1，b2，…，br，能由向量组(Ⅱ)：a1，a2，…，as线性表示，则有r≤s，即min{r，s}=r。 综上所述r≤r(K)≤r，即r(K)=r。 充分性：已知r(K)=r，向量组(Ⅱ)线性无关，r(A)=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使 PA=[*] 于是有PB=PAK=[*]。 由矩阵秩的性质 r(B)=r(PB)=r[*]=r(K)， 即r(B)=r(K)=r，因此向量组(I)线性无关。
解析
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考研数学三

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