设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa｜x－t｜f(t)dt 证明F’(t)单调增加．

admin2016-04-08 22

问题设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫_-a^a｜x－t｜f(t)dt
证明F’(t)单调增加．

选项

答案由已知F(x)=∫_-a^a｜x一t｜f(t)dt =∫_-a^x(x一t)f(t)dt+∫_x^a(t一x)f(t)dt =x∫_-a^x(t)dt一∫_-a^xtf(t)dt+∫_x^atf(t)dt一x∫_x^af(t)dt =x∫_-a^xf(t)dt一∫_-a^xtf(t)dt—∫_a^xtf(t)dt+x∫_a^xf(t)dt，F’(x)=∫_-a^xf(t)dt+xf(x)一xf(x)－xf(x)+∫_a^xf(t)dt+xf(x) =∫_-a^xf(t)dt—∫_a^xf(t)dt． =∫_-a^xf(t)dt—∫_a^xf(t)dt. 所以F’’(x)=2f(x)＞0，因此F’(x)为单调增加的函数．

解析

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考研数学二

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