设矩阵,矩阵X满足A*X=A-1+2X,其中A*是A的伴随矩阵,求矩阵X。

admin2014-01-26  27

问题 设矩阵,矩阵X满足A*X=A-1+2X,其中A*是A的伴随矩阵,求矩阵X。

选项

答案矩阵等式两边同时左乘A,得 AA*X=AA-1+2AX, 利用公式AA*=|A|E,上式可化为 |A|X=E+2AX, 即 (|A|E-2A)X=E, 从而有 X(|A|E=2A)-1. 由于[*], 故[*]。

解析 [分析]  若先计算出方程中的A*及A-1,然后再解矩阵方程求X,则计算过程会十分复杂.为了避免求A*和A-1,可利用公式A*A=AA*=|A|E,在等式两边同时左乘矩阵A进行化简.
[评注]  涉及伴随矩阵A*的计算或证明问题,一般都应注意联想到公式:
    A*A=AA*=|A|E.
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