设矩阵，矩阵X满足AX＝A－1＋2X，其中A是A的伴随矩阵，求矩阵X。

admin2014-01-26 59

问题设矩阵

，矩阵X满足A^*X＝A^－1＋2X，其中A^*是A的伴随矩阵，求矩阵X。

选项

答案矩阵等式两边同时左乘A，得 AA^*X＝AA^－1＋2AX，利用公式AA^*＝｜A｜E，上式可化为｜A｜X＝E＋2AX，即 (｜A｜E－2A)X＝E，从而有 X(｜A｜E＝2A)^－1．由于[*]，故[*]。

解析 [分析] 若先计算出方程中的A^*及A^－1，然后再解矩阵方程求X，则计算过程会十分复杂．为了避免求A^*和A^－1，可利用公式A^*A＝AA^*＝｜A｜E，在等式两边同时左乘矩阵A进行化简．
[评注] 涉及伴随矩阵A^*的计算或证明问题，一般都应注意联想到公式：
A^*A＝AA^*＝｜A｜E．

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