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设3阶方阵A的特征值为2,-1,0,对应的特征向量分别为α1,α2,α3,若B=A3-2A2+4E,试求B-1的特征值与特征向量.
设3阶方阵A的特征值为2,-1,0,对应的特征向量分别为α1,α2,α3,若B=A3-2A2+4E,试求B-1的特征值与特征向量.
admin
2019-04-22
115
问题
设3阶方阵A的特征值为2,-1,0,对应的特征向量分别为α
1
,α
2
,α
3
,若B=A
3
-2A
2
+4E,试求B
-1
的特征值与特征向量.
选项
答案
B=f(A),其中f(x)=x
3
-2x
2
+4.由Aα
1
=2α
1
,两端左乘A,得A
2
α
1
=2Aα
1
,将Aα
1
=2α
1
代入,得A
2
α
1
=2
2
α
1
=4α
1
,类似可得A
2
α
1
=2
3
α
1
=8α
1
,[*]Bα
1
=(A
3
-2A
2
+4E)α
1
=A
3
α
1
-2A
2
α
1
+4α
1
=2
3
α
1
-2.2
2
α
1
+4α
1
=(2
3
-2.2
2
+4)α
1
=f(2)α
1
=4α
1
,类似可得Bα
2
=f(-1)α
2
=α
2
,Bα
3
=f(0)α
3
=4α
3
,所以,B的特征值为4,1,4,对应特征向量分别为α
1
,α
2
,α
3
.因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以矩阵P=[α
1
,α
2
,α
3
]可逆,且有P
-1
BP=[*]为对角矩阵,两端取逆矩阵,得P
-1
B
-1
P=[*],由此知B
-1
的特征值为[*],对应特征向量分别为α
1
,α
2
,α
3
.
解析
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考研数学二
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