设微分方程y’2－2yy’’＝1满足y(0)＝y’(0)＝1的解为y(x)，曲线y＝y(x)与x＝1及坐标轴所围图形为D 求y＝y(x)；

admin2022-06-09 107

问题设微分方程y’²－2yy’’＝1满足y(0)＝y’(0)＝1的解为y(x)，曲线y＝y(x)与x＝1及坐标轴所围图形为D
求y＝y(x)；

选项

答案由y(0)＝1＞0，知在x＝0的某邻域内y＞0，已知方程不显含x 令y’＝p，则y’’＝p dp/dy，代入方程，得p²＋1＝2yp dp/dy，分离变量，有2p/p²＋1 dp＝dy/y两边同时积分，得 ln(1＋P²)＝1n y＋C，即1＋P²＝C₁y，由y’(0)＝1，y’(0)＝1，得C₁＝2，故 dy/dx＝p＝[*](因为y’(0)＝1＞0) 解得[*]＝x＋C₂，由y(0)＝1，得C₂＝1，故所求解为y(x)＝1/2 x²＋x＋1

解析

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考研数学二

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