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已知函数x=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2。求f(x,y)在椭圆域D={(x,y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。
已知函数x=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2。求f(x,y)在椭圆域D={(x,y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。
admin
2021-01-19
48
问题
已知函数x=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2。求f(x,y)在椭圆域D={(x,y)|x
2
+
≤1}上的最大值和最小值。
选项
答案
由题设可知 [*] 于是f(x,y)=x
2
+C(y),且C’(y)=-2y,从而C(y)=-y
2
+C,再由f(1,1)=2,得C=2,故f(x,y)=x
2
-y
2
+2。 令[*]=0得可能极值点为(0,0)。 再考虑其在边界曲线x
2
+[*]=1上的情形。 作拉格朗日函数 F(x,y,λ)=f(x,y)+λ(x
2
+[*]-1), 解得 [*] 得可能极值点(0,2),(0,-2),(1,0),(-1,0)。 将上述各点代入f(x,y)得f(0,0)=2,f(0,±2)=-2,f(±1,0)=3,可见z=f(x,y)在区域D={(x,y)|x
2
+[*]≤1)内的最大值为3,最小值为-2。
解析
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考研数学二
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