求A=的特征值和特征向量．

admin2021-11-09 63

问题求A=

的特征值和特征向量．

选项

答案(1)特征值的计算可按常规方法计算特征值：求出A的特征多项式，求其根得特征值……．但本题可利用特征值的性质很容易求出特征值． r(A)=1，tr(A)=4．利用特征值的性质(命题5．4的推论)直接可得到A的特征值为0，0，0，4． (不用性质，也可这样计算：r(A)=1，即r(A－0E)=1，于是0是A的特征值，并且其重数k≥4－r(A)=3．即A的4个特征值中至少有3个为0．于是第4个特征值为tr(A)=4．) (2)求特征向量属于0的特征向量是AX=0的非零解． [*] AX=0和x₁+x₂+x₃+x₄=0同解．得AX=0的一个基础解系η₁=(1，－1，0，0)^T，η₂=(1，0，－1，0)^T，η₃=(1，0，0，－1)T^T．属于0的特征向量的一般形式为 c₁η₁+c₂η₂+c₃η₃，c₁，c₂，c₃不全为0．属于4的特征向量是(A－4E)X=0的非零解． [*] 得(A－4E)X=0的同解方程组 [*] 得(A－4E)X=0的基础解系η=(1，1，1，1)^T．属于4的特征向量的一般形式为 cη，c≠0．

解析

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考研数学二

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