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求A=的特征值和特征向量.
求A=的特征值和特征向量.
admin
2021-11-09
74
问题
求A=
的特征值和特征向量.
选项
答案
(1)特征值的计算 可按常规方法计算特征值:求出A的特征多项式,求其根得特征值…….但本题可利用特征值的性质很容易求出特征值. r(A)=1,tr(A)=4.利用特征值的性质(命题5.4的推论)直接可得到A的特征值为0,0,0,4. (不用性质,也可这样计算:r(A)=1,即r(A-0E)=1,于是0是A的特征值,并且其重数k≥4-r(A)=3.即A的4个特征值中至少有3个为0.于是第4个特征值为tr(A)=4.) (2)求特征向量 属于0的特征向量是AX=0的非零解. [*] AX=0和x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=0同解.得AX=0的一个基础解系η
1
=(1,-1,0,0)
T
,η
2
=(1,0,-1,0)
T
,η
3
=(1,0,0,-1)T
T
.属于0的特征向量的一般形式为 c
1
η
1
+c
2
η
2
+c
3
η
3
,c
1
,c
2
,c
3
不全为0. 属于4的特征向量是(A-4E)X=0的非零解. [*] 得(A-4E)X=0的同解方程组 [*] 得(A-4E)X=0的基础解系η=(1,1,1,1)
T
.属于4的特征向量的一般形式为 cη,c≠0.
解析
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考研数学二
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