设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记    若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

admin2018-08-03  30

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记
  
若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22

选项

答案记矩阵A=2ααT+ββT.由于α,β正交且为单位向量,即αTα=1,βTβ=1,αTβ=βTα=0.所以 Aα=(2ααT+ββT)α=2α, Aβ=(2ααT+ββT)β=β, 于是λ1=2,λ2=1是矩阵A的特征值.又 r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2, 所以λ3=0是矩阵A的特征值.由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值,故f在正交变换下的标准形为2y12+y22

解析
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