2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 　　 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 　　 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2018-08-03  33
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
　　
若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
选项
答案记矩阵A=2ααT+ββT．由于α，β正交且为单位向量，即αTα=1，βTβ=1，αTβ=βTα=0．所以 Aα=(2ααT+ββT)α=2α， Aβ=(2ααT+ββT)β=β， 于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2， 所以λ3=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
解析
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考研数学一

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