设A和B都是m×n实矩阵,满足r(A+B)=n,证明ATA+BTB正定.

admin2018-11-23  16

问题 设A和B都是m×n实矩阵,满足r(A+B)=n,证明ATA+BTB正定.

选项

答案用正定的定义证明. 显然ATA,BTB都是n阶的实对称矩阵,从而ATA+BTB也是n阶实对称矩阵. 由于r(A+B)=n,n元齐次线性方程组(A+B)X=0没有非零解.于是,当α是一个非零n维实的列向量时,(A+B)α≠0,因此Aα与Bα不会全是零向量,从而αT(ATA+BTB)α=αTATAα+αTβTβα=‖Aα‖2+‖βα‖2>0.根据定义,ATA+BTB正定.

解析
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