设向量组α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

admin2021-11-09  35

问题 设向量组α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

选项

答案设kβ+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0,即 (k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0, 等式两边左乘A,得(k+k1+…+kt)Aβ=0[*]k+k1+…+kt=0,则k1α1+…+ktαt=0. 由α1,α2,…,αt线性无关,得k1=…=kt=0,k=0,所以β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

解析
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